线代各章小结by华理自强社..docVIP

第一章 1.6.1 内容框图 1.6.2 基本要求 理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。 熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。 了解分块矩阵及其运算。 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。 1.6.3 内容概要 矩阵的概念 矩阵是一个由mn个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为 A=或 A= 本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。 特殊矩阵 特殊矩阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。他们之间具有如下的从属关系 矩阵的运算 加法：设 ， 数乘：设； 乘法：设，，则，其中 注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。 转置：设 A=，则 称为A的转置阵，记为。 运算规律： A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);. (AB)C=A(BC); ; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; (k,l为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。 注1 矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下ABBA,由此得到式子 都未必成立，但上述三个式子在AB=BA的条件下都成立，例如： 注2 矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC不能得到B=C.由此可知若 不能得到A=O,或A=I, 若也不能得到A=O，但在A可逆的条件下，由AB=AC必成立B=C 思考：当A可逆时，若AB=CA能推出B=C吗？ 4) 可逆矩阵 （1）概念： 设矩阵A,B满足AB=BA=I ，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为. 注1 可逆矩阵必为方阵。 注2 若A可逆，其逆必唯一，故A的逆矩阵记作，即有A=A=I （2）性质： 若A可逆，则,均可逆，且; 若A可逆，数，则kA可逆，且; 若A,B是同阶可逆阵，则AB可逆, =. 注 若A,B为同阶的可逆矩阵，A+B不一定可逆 （3）判别方法 ①利用定义: 若AB=BA=I,则必有A可逆,且; ②利用初等矩阵:若A可分解为有限个初等矩阵,则A可逆. (4)求法①利用初等变换或 注 对 只能用行初等变换.对 只能用列初等变换。 ②利用分块矩阵 ③凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式,从而可得=B,这一方法适用于抽象矩阵求逆. 5)矩阵的分块 （1）概念:对矩阵A 用若干条横线和若干条纵线分割成的矩阵称为分块矩阵,其中每个元素是以小矩阵构成的块. （2） 特殊分块法及其作用: ①将A 按列分块,其中是A的第j列(j=1,2,…n)，则 (j=1,2,…n) 其中为单位阵的第j列。 ②将A 按行分块，其中为A的第i行，则A=,(i=1,2,…,m) 其中为单位阵的第i列. 注 由①② 可得到 ③ 将 列分块，则 的计算也可转化为方程组（i=1,2,…,n）的求解问题。 将A分成块对角阵 则 则 其中假设 都可逆。 初等变换与初等矩阵 矩阵A的初等变换有如下三类： 第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记作 第二类：以非零常数乘A的第i行（列），记作 第三类：将A的第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，记作 （２）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵； 其中 （３）初等变换与初等矩阵之间的关系： 初等矩阵左（右）乘A,相当于对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如: 注１:若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，此时必成立等式 ，其中与均为初等矩阵。 注2:对矩阵A进行第二类初等变换时，乘上的数必须为零；对矩阵A进行第三类初等变换时，只有原矩阵A中的第j行变化了，为A的第j行加上A的第i行的k倍，其余行不变，如,则 ，而不是 。 注3:初等矩阵都是可逆阵，且成立 第二章 2.6.2 基本要求 会用对角线法则计算二阶和三阶行列式。 了解n阶行列式的定义。 知道行列式的性质。 掌握计算行列式的方法。 掌握克莱姆法则。 2.6.3内容提要 行列式的定义 一阶行列式，设n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式定义为其中为的余子式，为的代数余子式。 注1 一阶行列式。 注2 行列式是方阵A对应的一个数，用记，不同阶行列式可能不同，如 但不同阶矩阵必不相同。 特殊行列式的值 (1)上三角行列式：  (2)下三角行列式： (3)对角行列式： (4) (5) (6) (7) 范德蒙行列式： 其中为连乘积的符号。 行列式的性质 方阵A的行列式