《点线平面位置关系》.doc

点 线 平面位置关系 平面 1．平面的特点：“平”、“无限延展”、“无厚薄”. 2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面,被遮部分的线段画成虚线或不画。 注意：水平平面画两横边，横边为邻边的两倍，锐角画成45°；直立平面画两竖边． 3．平面的表示法 ⑴希腊字母α、β、γ前面加“平面”二字，如平面α等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内 ⑵用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD ⑶用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC． 4．点、直线、平面之间的基本关系： 把直线、平面看成是点的集合，借用集合中的符号语言来表示, 读法上仍用几何语言． 练习：观察图形，用模型来说明它们的位置有什么不同，并用字母表示各平面． 附注：讲评时，用书作示意，对直 线的可见部分与不可见部分加以区别．对可见棱与不可见棱加以区别． 练习：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： 点A在平面α内，但不在平面β内； 直线a经过不属于平面α的点A，且a不在平面α内； (3) 平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P；（4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M． 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线． 用集合符号表示： (证线、点在面内依据) 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 用集合符号表示：P∈α, P∈β( α与β必相交 (证两平面相交依据) (证点在面内依据) 公理3：?经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 推论1：?经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． ?“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”． 推论2： ?经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图6） 推论3： ?经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图7） ?应用平面的基本性质证明空间点和直线的共面问题． 例：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图8） 已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C． 求证：直线AB，BC，AC共面． ?方法：证“空间的点、直线共面”可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它的元素也在这个面内． 小结：证“直线在平面内”只要证直线上有两点在平面内； 证“两个平面相交”只要证两平面有一个公共点； 证“点在平面内”可证该点在平面内的一条直线上； 证“点在直线上”可证点为两平面公共点, 直线上为两平面交线； 例：△ABC三边延长线与平面α分别交于D、E、F，求证：D、E、F在一条直线上. 。 例：三平面α、β、γ相交如图, A、B∈α, C∈β, 试作出过ABC三点的平面与α、β、γ的交线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 例：在正方体ABCD－A1B1C1D1中． （1）AB与C1D1是什么位置关系？为什么？ （2）A1D1与BC是什么样的位置关系？为什么？ （3）如果M、N分别为B1B、C1C的中点，问A1D1与MN是什么位置关系？ （4）AC与A1C1是什么位置关系？为什么？ （5）AD1与BC1是什么位置关系？为什么？ 例： 梯形ABCD沿中位线EF折起成空间图形ABEC1D1F, 求证： ⑴AD1, BC1所在直线相交(记交点为P)； ⑵设AD、BC交于R, EC1、FD1交于Q, 则P、Q、R三点共线. 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同, 则这两个角相等. 证明：构作两个三角形, 证全等. 思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反呢？ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组对应边同向另一组对应边反向呢？ 推论：两条相交直线与另两条相交直线分别平行, 则两组相交直线所成的锐角或直角相等 注意：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用 (1)“垂直于同一直线的两直线平行”在立体几何中不成立． (2) “两组对边相等的四边形是平行四边形”在立体几何中不成立． (3) “四边相等的四边形是菱形”在立体几何中不成立． (4) “三个角是直角的四边形是矩形”这个平面几何中的定理在立体几何中也不成立， 可以发现“空间四边形四内角和小于360°”这是立体几何中的一个定理． 7．空间两条直线的位置关系 (1)基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角相等． (3)异面直线的定义：空