专题四平面向量与解三角形专题复习理.doc

专题四 平面向量与解三角形专题复习 一、考纲解读 （一）考纲要求 （I）、平面向量：1．平面向量的实际背景及基本概（1）了解向量的实际背景（2）理解平面向量概念和两个向量相等的含义（3）理解向量的几何示．2．向量的线性运算（1）掌握向量加、减法的运算，理解其几何意义（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义．3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义．（2）掌握平面几量正交分解及其坐标表示．（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义．（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系．（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．平面向量的解三角形正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．．（1）了解空间向量的概念，了解空间向基本定理及其意义，掌握空间向量的正交解及其坐标表示．（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．（1）理解直线的方向向量及平面的法向量．（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．（3）能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）．（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解空间向量方法在研究简单立体几何问题中的作用． 本主要能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题直线与直线、直线与平面、平面与平面(或平行向量 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。（2R是△ABC的外接圆的直径）； （2）其变形为 2、解三角形常见的四种类型 （注：（2）中解的情况比较的复杂，要注意分析讨论）； ．（注：a、隐含的条件是；b、（2）也可用余弦定理．） （III）空间向量 空间向量的概念及其运算： （1）．空间向量的概念： 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 （2）空间向量的加减、数乘运算及其坐标表示： 说明：①利用图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 令=(a1,a2,a3),，则 （3）空间向量的数量积及其坐标表示： ①、夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作 说明：⑴规定0≤≤,因而=； ⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥； ⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同， 图（3）中∠AOB=， 图（4）中∠AOB=, 从而有==. ②、向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。(用到常用的向量模与向量之间的转化) ③、向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。 即=，其坐标表示为： ④、向量: ⑤、性质 ⑴。 ⑵⊥=0 ⑶ （3）共面向量定理及空间向量基本定理： ①、向量与平面平行 如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。 ②、共面向量 我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量 ③、共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使推论空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使④ 或对空间任一定点O，有⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于对于空间任意一点P只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、