六年级奥数33平面图形的计算.doc

33、平面图形的计算 【周长的计算】 　　例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。 　　（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题） 　　讲析：设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。于是有 　　a×b=45÷9＝5； 　　又有：4a=5b。 　　可求得b=2，a=2.5。 　　所以大长方形的周长为6a＋7b=29（厘米）。 　　例2 图5.55中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛”决赛试题） 　　讲析：图5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB。 　　从图5.55（2）的竖直方向看，AB＝a－CD 　　图5.55（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD， 　　所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米） 　　故：图5.55（1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。 【面积的计算】 　　例1如图5.56，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是______。 　　讲析：连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。 　　同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE= 　　从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。 　　例2 如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？ 　　　　讲析：如图5.59，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。 　　在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。 　　经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。 　　例3 三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图5.60（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60（2）。那么，图5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。 　　讲析：如图5.60（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。 　　△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。 　　 　　 　　例4 如图5.61，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。 　　讲析：可设△AOD的面积为S1。 　　则，△BOC的面积为S1＋12。 　　于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1， 　　S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12） 　　=24（平方厘米）。 　　所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。 　例5 梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。 　　讲析：三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3； 　　则：DO∶OB=1∶3。 　　△ADB和△ADC是同底等高三角形， 　　所以，S1=S3=2厘米2。 　　三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1∶3，则 　　所以，梯形ABCD的面积为 　　例6 正方形边长为20厘米（如图5.63），已知DD′=EE′，CE=6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是______平方厘米。 　　讲析：E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。 　　设DD′长a厘米。 　　D′C=20-a，E′C=a＋6。 　　 　　又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。 　　运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7 　　=84.5（平方厘米）。 　　例7 图5.64是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米？ 　　（　　讲析：如图5.65，连接AC，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。 　　容易看出S2和S3是关于OC为对称轴的对称图形。所以S2=S3。 　　从而不难得出S1、