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分类计数原理 与分步计数原理 课题： 分类计数原理与分步计数原理 教材分析： 《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解掌握和运用，学好本章的一个关键。培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别对较为复杂事件的分类和分步课型： 新授课 教学过程： 问题引入一 问题1 从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？ 新知探究一 分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。 说明： （1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 （2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。 例1　在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的强项专业，B大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？ 新知探究二 分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法，那么依次计算各步的做法数目，它们的乘积就是要计数的对象的总数。 说明： （1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理。 （2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数。 例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 解： 30×24=720 即共有720种不同的选法 分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理 联系 分类计数原理和分步计数原理，解决的都是计数的问题。 区别一 关键词是“分类” 关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立完成这件事情。 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。 区别三 各类办法是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相关联的 例3、某地的部分电话号码是8415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码? 分析： 8415 10×9×8×7=5040 即共可产生5040个不同的电话号码 变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码? 例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? 解：根据分类计数原理，不同的取法共有4＋3＋2＝9种 (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法? 解：根据分步计数原理，不同的取法共有4×3×2＝24种 例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 解：共有3×2=6不同的挂法 三、课堂练习 课后练习A组1、3 补充练习： 1、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？ 2、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？ 3、从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从甲