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2008届高三数学培优讲义（一）2007年8月8日 函数的性质与图像 【考试要求】 函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位. 其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 1、深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质. 2、理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用. 3、理解掌握幂函数、指数函数和对数函数的性质、图象及运算性质. 4、灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题． 5、应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题． 【例题精选】 例1．已知g(x)=－x2-3，f(x)是二次函数，当x∈[-1，2]时，f(x) 的最小值为1，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式． 分析：用待定系数法求f(x)解析式． 设f(x)=ax2+bx+c（a≠0），则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3， 由已知f(x)+g(x)为奇函数，∴ ， ∴ f(x)=x2+bx+3． 下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b，分类讨论． ，对称轴． 当≥2，b≤-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数， ∴ ，∴ 2b+7=1，∴ b=3（舍）； 当（-1，2），-4b2时 ，∴ ， ∴ （舍负）； 当≤-1，b≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数， ∴ (f(x)min=f(1)=4-b， ∴ 4-b=1， ∴ b=3． ∴ ，或． 评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一．在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值． 拓展：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 解 由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c得并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为 f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1． 例2．某公司为了帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（不计息）．已知：该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系用图中的一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元． (1)如果当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； (2)如果该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价定为多少元？ 解：（1）设该店每月的利润为S元，有职工m名， 则S=q(p-40)×100－600m－13200．　又由图可得= ∴S=． 由已知，当p=52时，S=0，即（－2×52+140）(52－40)×100－600m－13200=0， 解得m=50，即此时刻店有50名职工； （2）由题意知 S= 当40≤p≤58时，求得p=55时，S取得最大值7 800（元）； 当58p≤81时，求得p=61时，S的最大值6 900（元）． ∴当p=55时，S有最大值7 800(元).． 设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意，12×7 800×n-268 000-200 000≥0,得n≥5． 即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元.． 例3．设m是实数，记M={m|m1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+) (1)证明 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M ； (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值； (3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1． 解：(1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3［(x－2m)2+m+］, 当m∈M时，m1,∴(x－m)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m1,故m∈M ． (2)解析 设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.而u=(x－2m)2+m+,显