用区间表示下列函数的定义域.doc

习题一 （A） 2、用区间表示下列函数的定义域： （1）； 解 ：当时，有意义，当时，，有意义，所以。 （2）； 解：要使函数有意义，，，所以 。 3、讨论下列函数的奇偶性： （2）；解：因为 ，所以为奇函数。 6、指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）； 解：是由函数，，复合而成的复合函数。 （2）；解：；是由函数，，复合而成的复合函数。 7、求下列函数的反函数及反函数的定义域： （1），； 解：当时，，，则，，交换得反函数，。 8、设某商店以每件元的价格出售某种商品，可销售件，若在此基础上降价％，最多可再销售件，又知该商品每件进价为元，试写出销售该商品的利润与进货数的函数关系。 解：当时，利润，当时，利润，综合。 9、某家用电器每台销售价为元，每月可销售台，若每台销售价为元，则每月可增销台，求该电器的线性需求函数，并将销售收入表示成销售量 的函数。 解：设需求量（销售量）为，单价为，则当时，，当时，，线性需求函数为，，，解得，，线性需求函数为，，销售收入。 10、设销售某种商品的总收入是销售量的二次函数，而且已知时，响应的。试确定与的函数关系表达式。 解：设，当时，，则，，当时，，，，解得，。 13、填空：当时， （1）是的（ 同 ）阶无穷小量；因为（等价无穷小）。 （2）是的（高）阶无穷小量；因为 18、极限，运算过程中哪几个等号是错误的？ 解：第一个等号是错误的，当时，，但这里是和差运算不能用等价无穷小代换。 19、求下列极限： （1）；解；。 （2）； 证：，因为有界，而，所以 ，无穷小量，由有界变量与无穷小的积为穷小，则有 。 （3）；解：。 （4）； 解：原式。 （5）； 解：分子分母同除以，原式。 （6）；解：。 （7）；解： 。 20、求下列极限： （1）；解：。 （2）；解：。 （3）；解： 。 （4）；解： 。 （5）；解：。 （6）；解： 。 21、求下列函数的间断点，并判别类型： （1）；解：当时（），分母为零，为间断点，时，间断点，，所以为第一类间断点（可去间断点），，，，所以，为第二类间断点（无穷间断点）；当时（），分母无定义，为间断点， ，所以为第一类间断点（可去间断点）。 （2）；解：函数定义域，分子当时，有意义，当时，分母为零，所以为间断点， ，所以为第一类间断点（可去间断点）；，所以为第二类间断点（无穷间断点）。 22、证明方程（为正的常数）在上至少有一个根。 证：设为初等函数，在上连续，， ，由连续函数的零点定理，在内至少存在一点，使，即方程在内至少存在一根，所以在上至少有一个根。 （B） 4、设（），求。 解：令，，，。 7、求下列极限： （1）；解：因为，所以，， ，所以；，，所以极限 。 16、证明：方程至少有一个小于的正根。 证；令，初等函数在上连续，，，由连续函数的零点定理，至少存在，使，即方程至少有一个小于的正根。 习题二 （A） 1、求曲线在处的切线方程和法线方程。 解：，，，切线斜率，切线方程为 ，即；法线斜率，法线方程为 ，即。 3、当取何值时，曲线和的切线平行？ 解：设，，，，两切线平行，所以，解得，。 4、设可导，求下列极限： （1）； 解： 。 5、设函数 ，讨论该函数在处是否连续、是否可导？若可 导，则求出。 解：因为，所以在处左连续； ，所以在处右连续；则函数在处连续。因为坐导数；而右导数 ；，所以函数在处不可导。 7、设函数 ，证明该函数在处连续、但在处不可导。 证：因为（因为有界，而无穷小量），所以在处连续；不存在，所以在处不可导。 8、计算下列函数的导数： （1）；解：。 （3）；解：，。 （4）；解： 。 （6）；解 ：。 （7）；解：。 （8）：解： 。 （9）； 解：。 （10）； 解: 。 （12）；解： 。 9、计算下列函数的导数： （1），求； 解：方程两端对求导，，解得。 （2），求；解：方程两端对求导，，，，得。 （3），求；解：方程两端对求导， ，。 （4），求；解：方程两端对求导， ，解得，当时，，代入 。 （5），求； 解：令，，两端对求导，， ，即；令，，两端对求导，， ，则 。 （6），求； 解：，两端对求导， ， 。 （7），求；解：。 （9），求；解：。 10、设可导，且，求。 解： ，。 11、求下列函数的导数： （2）设，求；解：，。 （5）设函数，求。 解：，由公式 ，则 。 12、证明：函数满足方程。 证：，， 。 14、求下列函数的微分： （1），求；解： 。 （2），求；解：， 。 （4），求；解：方程两端微分， ，解得。 （5），求；解：方程两端微分，， ，解得。 （6），求；解：方程两端微分，，解得。 15、计算下列函数在指定点处的微分值： （2），，，求。 解：，，代