第五讲概念课直线的倾斜角和斜率.docVIP

第五讲：概念课 教学设计 二、案例分析 案例1： 概念生成课的案例（直线的倾斜角和斜率） 第一阶段的探究：找到核心 师：我们在爬山的时候，会感觉到有的山坡陡，有的平坦些。怎么来刻画这种区别呢？ 生1：角。 师：说具体些。 生1：山坡和水平线所成的角。 师：如果把山坡看成直线，水平线看成横轴，那么…… 生1：直线和x轴的夹角。 师：对，我们把这个角叫做直线的倾斜角。不过我只是给了个模糊的说法，试给倾斜角下个数学定义好吗？ 生2：直线和x轴所成的角。 生3：（反驳）直线和x轴所成的角有4个，应为：与x轴正方向所成的角。 生4：（反驳）应改为：直线向上方向和x轴…… 师：很好！我们给出了直线的倾斜角的定义：直线的向上方向和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角。（板书） 师：有没有不同意见？ …… 生5：建筑工人在观察所砌的墙壁是不是垂直于地面时，是用一根线吊起来，看墙壁和吊线之间的夹角。这个夹角也可以衡量直线的倾斜程度的。 师：很好！真聪明。实际上是研究直线和y轴的夹角。 第二阶段的探究：进一步改进 师：让我们回到和x轴的夹角。在三角里，我们已经把角的概念推广到任意角了，这样的说法可不可以改进一下？ 生6：应该说最小角。 生7：应该确定角的旋转方向。 师：（得出定义，板书）请大家看书。划出关键词。 评：尽管我们不要求背定义，但是定义的词语分析是很值得重视的。 生8：逆时针，最小正角。 师：以后，为了统一起见，我们以这个作为直线倾斜角的定义。 第三阶段的探究：细节特例补充 师：还有什么要注意的，定义中似乎还有什么情况被遗漏了…… 生9：当直线和x轴不相交时。 师：这个时候规定它是几度较为合理？ 生9：0度。 （得出完整的定义） 评：有些概念常会有几个特殊情况，需要强调。譬如绝对值，定义是这样的：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。其中的“零”的情形，就是特殊情况。它是整个定义的组成部分，又是学生容易忽视的。 第四阶段：对概念进行练习 师：倾斜角的大小可以使任意的吗？ 生9：应该在0到π之间。 师：能够等于0吗？能够等于π吗？ 生：能够等于0，不能等于π。 接着，教师出了一些练习题： 如图1，直线l是第一、第三象限的角平分线，能够说l 的倾斜角是45°、405°、π/4、225°吗？ 如图2，直线l是第四象限的角平分线，能够说l的倾斜 角是315°、-π/4、135°、n?360°+315°吗？ 如图3，直线l是第二象限的角平分线，能够说l的倾斜角是315°、-3π/4、135°、n?360°+315°吗？ 师：要注意区分两个概念。借用图2，对于“直线l倾斜角”，和“始边是x轴正方向、终边位置在l的角”，有谁能够说清楚它们的区别和联系？ 生10：前面的一个概念时对直线而言的，而后面的概念时对射线说的。直线l的倾斜角只有一个，而且范围是0≤α≤π；而始边是x轴正方向、终边位置在l的角，有无数多个，可正可负，一般表达式是k?360°+α（k∈Z）。 师：好，大致说清楚了。 评：相似概念的辨别比较落实。 …… 第五阶段：引出斜率 师：刚才得出了倾斜角来反映直线的倾斜程度，还有同学用吊线和y轴的夹角来刻画倾斜程度，得到了倾斜角的定义。除了用角来刻画直线的倾斜程度外，还可以用别的什么数量吗？ 生11：取倾斜角的正弦、余弦、正切，这些都是数，都可以反映直线的倾斜程度的。 师：选哪个好？ 生12：正弦不好，因为在[0，π）内角和正弦不是一一对应。在正弦和余弦之间，好像选正切好。 评：又是在展现概念的生成过程，但又不过分。 师：好的，我们把直线倾斜角α的正切叫做直线的斜率，即斜率k=tanα。注意，这里要求α≠π/2，即当α=π/2时直线的斜率不存在。这是一个特殊情况。 …… 第六阶段：总结扩展 师：到现在为止，我们有哪些确定直线方向的方法？ 生13：方向向量，法向量，倾斜角，斜率。 师：这四者如何转换？有什么需要注意的？ …… 议：D老师的这节概念课，一个特点是展现了概念的形成过程。倾斜角也好，概念也好，原来都是为了反映某类食物，或者某种性质的。反映某类事物或某种性质，有时可以用多种办法来刻画，经过适当的取舍之后，才有了书上的定义。 另一个特点是概念的分析比较到位。为了理解一个概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出两个概念的区别和联系。 对概念教学，教改之后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。 要懂得种属定义的基本结构是“属+种差”（这是主要定义方式，另一种方式是归纳定义），就是上位概念加上一个或几个限制词。有时候这种结构很清楚，有时候又比较含糊。