经济数学2011秋讲义.doc

第一部分 基础知识： 第一章函数 函数： 定义、符号y=f（x）及其含义、表示法（公式、图象）、函数值 两个要素（用于判断两个函数是否相同）：对应规则、定义域（自变量的取值范围） 定义域的确定原则：使得函数表达式有意义的自变量的取值范围。 奇偶性及其图形特点 有界性。主要是正弦函数和余弦函数有界 基本初等函数 常数函数：y=c 幂函数: （ 为常数） 例，，， 指数函数: ， y=ex 对数函数: 自然对数 三角函数:y=sinx、y=cosx、、y=cotx， 常用关系， y=sinx、y=cosx有界 以上函数表达式中，X的位置必须是自变量本身。 初等函数：基本初等函数经有限次四则运算所得函数（简单函数）和复合运算所得函数（复合函数）统称为初等函数。由y=f(u)、u=u(x)复合而成的函数为y=f[u(x)] 经济分析中常见的函数 需求函数：需求量q是价格p的函数。记为q=q(p) 供给函数 成本函数：总成本C是产量q的函数。记为C=C(q) 平均成本=C/q 注：总成本=固定成本＋可变成本 收入函数：销售收入R是销售量q的函数.注：R=pq 利润函数：利润L是销售量q的函数. 注：L=R-C 第二部分 微分学 一、导数的计算 （一）预备知识 基本初等函数 简单函数 复合函数 如果在基本初等函数表达式中，X的位置不是自变量本身，而是一个函数的，那么就是函数的函数，是复合函数了 （二）求导公式 微分 注：基本初等函数的求导公式要求做到熟练掌握。 （三）导数的计算： 1）简单函数直接代公式求出导数 例1 ： 例2 ： 例3 ： 例4 ： 例5： 例6： 2）复合函数的求导步骤：先将复合函数分解成若干个简单函数，再用链式法则。 例8： 例9： 例10： 例11： 例 解： 例 解： 经济函数求最值 解题步骤：（重点） ①列出要求最值问题的函数表达式，确定其定义域（按实际问题定） ②求导 ③令导数等于零，求出驻点 ④若驻点仅有一个，则由实际问题可知，该驻点即最值点 ⑤若需要，就求出最值 注1：本章常用经济函数之间的关系： ①设总成本函数为 ，则平均成本函数为 ②销售收入函数 ，其中为销售量，为价格。 ③利润函数 注2：导数在经济学中称为边际 如，，分别称为边际成本，边际收入和边际利润 例1：总成本为，收入为。问产量 多少时，能使利润最大？最大利润是多少？ 解： 例2：生产某种产品 单位的生产费用为：。问 为多少时，能使平均费用最低？最低的平均费用是多少？ 解：： 例3. 生产某产品的成本函数为（单位：元，其中产量的单位：件），求：⑴当产量时的平均成本和边际成本；⑵当产量为多少时平均成本最小？ 解：⑴平均成本函数为 由此得 （元／件） 又因为 所以 即当产量时的平均成本是每件10元．边际成本为每件4元 ⑵ 令，解出（舍去），易知其为最小值点．即当产量为件时平均成本最小． 例4. 设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润. 解 C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000， 且令=2400 – 8p = 0得p =300， 该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 （元）． 例5. 生产某产品的边际成本为(万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，问： (1) 产量为多少时，利润最大？ (2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解 （1） 令 得 （百台） 又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台