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基于二维傅里叶变换的图像处理技术 1.1二维傅里叶变化基础 假如以正方形网格采样得到的数字图像用f(x,y)表示，由一维傅里叶变换的定义可以得到f(x,y)的二维傅里叶变换为： 其反变换为： 1.2傅里叶变换的性质 分离性： 平移性 周期性 共轭对称性 旋转性 分配性和比例性  1.3 matlab中二维傅里叶变换的函数以及应用 在MATLAB中，用来实现数字图像傅里叶变换用到的函数主要有fft2函数和fftshift函数。前者用来实现数字信号的二维离散傅里叶变换，后者用来将傅里叶变换的零频率部分移到频谱的中间。 fft2函数的语法格式如下： Y = fft2(X) Y = fft2(X,m,n) fftshift函数的语法格式如下： Y = fftshift(X) Y = fftshift(X,dim) 例：制作64*64 大小的简单黑白二值图像用Matlab 的imread 函数读 取并做二维DFT 变换 代码： clear %创建256*256的二值图像 f = zeros(256,256); f(124:130,117:137) = 1; %原始图像显示 figure(1); imshow(f); title(原始图像); %傅里叶变换 F = fft2(f); %频谱中心化 F2 = fftshift(abs(F)); %结果显示 figure(2); x=1:256;y=1:256; mesh(x,y,F2(x,y)); colormap(jet); colorbar title(傅立叶变换结果); 图 1-1 a） 图1-1 b） 结果分析： 从变换结果图1-1 b）可以看出，图像的能量主要集中在某一频率段，如果将系数较小的部分舍去，即可实现图像的压缩。 例：更改DFT 系数为整数，做IDFT 观察图像的变化； %将DFT系数的绝对值四舍五入后作为新的dft系数 F1=round(abs(F)); f2=ifft2(F1); figure(3);imshow(f2); 实验结果： 图1-2 a） 实验结论： 可见图像无法还原到最初。 例：更改小幅值的DFT 系数为0，做IDFT 变化观察图像的变化： %将绝对值小于a的都改为零，在做IDFT变换： %取a=1； F(abs(F)1)=0; f2=ifft2(F); figure(4);imshow(f2); 实验结果： 图1-3 a） 结果分析： 在执行二维离散傅里叶变换过程中，只取离散傅里叶变换系数大于1的系数，所示的反变换结果如图1-3 c）和原图像1-1 a）比较，通过肉眼观测，很难看出两者的区别，如果将系数小于100的值设为0，反变换得到的结果如图1-3 d）所示，图像的清晰度越来越低，图像质量越来越差。 F(abs(F)100)=0; f2=ifft2(F); figure(4);imshow(f2); 图1-3 d） 例：选取不同类型（自然景观、人物照片、卡通图片）的实际图片重复上述处理并分析结果 用下面这幅图进行分析： 代码： f=imread(e:jpg); figure(1); imshow(f); F=fft2(f); figure(2); f1=ifft2(F); imshow(f1); 图1-4 结果分析： 可见图像已经发生严重失真。 例：将彩色图像转换为黑白二值图像之后才能进行二维傅里叶变换 这里我们取阈值为0.5 代码： f=imread(e:jpg); f1=im2bw(f,0.5); figure(1); imshow(f1);title(原始图像); F=fft2(f1); %取F的实部再取整 F1=ceil(real(F)); f2=ifft2(F1); figure(2); imshow(f2); %将DFT系数小于十的全取零 F(abs(F)10)=0; f3=ifft2(F); figure(3); imshow(f3); 实验结果： 图1-5 a） 图1-5 b） 图1-5 c） 结果分析： 可见如果要压缩彩图，不可能保留其颜色信息，只有将其先转换为黑白二值图像之后才能进行压缩，这样至少图像基本形状信息不会缺失。 基于离散余弦变换的图像压缩技术 2.1离散余弦变换基础 一维离散余弦变换和其反变换定义如下： 式中 二维离散余弦变换和反变换的公式为： 2.2 Matlab实例操作 1、dct2函数 利用该函数可以