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学案46　利用向量方法求空间角 导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 自主梳理 1．两条异面直线的夹角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角． (2)范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________． (3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝______________. 2．直线与平面的夹角 (1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角． (2)范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________． (3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝__________或cos θ＝sin φ. 3．二面角 (1)二面角的取值范围是____________． (2)二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图①)． ②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 自我检测 1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120° B．60° C．30° D．以上均错 4．(2011·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　) A．150° B．45° C．60° D．120° 5．(2011·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 探究点一　利用向量法求异面直线所成的角 例1　已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值． 变式迁移1　 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角． 探究点二　利用向量法求直线与平面所成的角 例2　(2011·新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点． 若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值． 变式迁移2　 如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值． 探究点三　利用向量法求二面角 例3　如图，ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝BA＝1，AD＝，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小． 变式迁移3　 (2011·沧州月考)如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点． (1)证明：SO⊥平面ABC； (2)求二面角A—SC—B的余弦值． 探究点四　向量法的综合应用 例4　 如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形． (1)求证：AD⊥BC； (2)求二面角B－AC－D的余弦值； (3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置