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概率统计与分布列计算 一、基础知识再梳理 1、古典概型及其计算公式 2、常见的概率模型 ⑴互斥时间至少有一个发生的概率 ⑵相互独立时间同时发生的概率 ⑶独立重复试验恰好发生k次的概率 ⑷条件概率 3、几何概型 4、离散型随机变量的分布列及其特征数计算 5、常见的分布列 ⑴二项分布 ⑵超几何分布 二、典型题型分析 题型1：古典概型相关计算问题 例1⑴从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A． B． C． D． ⑵一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A． B． C． D． ⑶连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ） A． B． C． D． ⑷在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 题型2：概率模型（互斥事件，独立事件，对立事件） 例2⑴甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． ⑵某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求： (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率； (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率. ⑶在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关 奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、 丙两人都回答对的概率是． (Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率． (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率． ⑷某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品． （Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率； （Ⅱ）任意依次抽出个零件进行检测，求其中至多个零件是合格品的概率； （Ⅲ）任意依次抽取该种零件个，设表示其中合格品的个数，求与 题型3：独立重复试验 例⑴某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. ⑵某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率； ⑶某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）至少有1株成活的概率； （Ⅱ）两种大树各成活1株的概率 ⑷.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则 A. = B. C. D。以上三种情况都有可能 题型4：分布列计算 ⑴已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望． ⑵学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动. （1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率； （2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的