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(概率论与数理统计—第六章样本及抽样分布
授课章节 第六章 样本及抽样分布 目的要求 理解总体,样本,样本值,统计量;了解χ2分布,t分布和F分布,分位数;掌握正态总体的抽样分布等内容. 重点难点 重点:正态总体的某些常用统计量的分布。 前五章,主要介绍了概率论的基本概念,掌握了描述随机变量取值规律的方法——离散型用分布律、连续型用密度函数。一旦知道了随机变量的取值规律,我们就可以计算这个随机变量满足各个条件的概率。
而从第六章开始到第九章进入数理统计部分。它的思想方法是通过“样本”的数据对“总体”的分布或总体的某些未知参数做出“可靠”的推断。当然,在这个过程中,总体的全部或部分是未知的。
第一节 随机样本
下面,通过一个例子,了解总体、样本、样本值、样本容量等数理统计中的基本概念。
例 某灯泡厂,一个季度内生产了一大批灯泡,出厂前要对这批灯泡的质量,比如它的寿命,做比较全面的分析。
用X表示灯泡的寿命,显然,随取哪只灯泡的不同,它的寿命也不一样。因此,X是个随机变量。如果,我们知道它的分布,我们就知道这批灯泡的质量。
称X为总体 —— 我们所关心的某个数量指标的全体。想全面地了解总体,最好的方法就是“普查”,但普查对有些场合是不现实的。比如,本例中的灯泡的寿命就是如此。即便在某些场合,普查是允许的,但投入过多的人力、物力,而使成本加大不划算。注意,这并不是说,普查都不做,全国的人口普查已做了数次。因此,我们想到了“抽样”,在这批灯泡中随机地抽取n只灯泡,每只灯泡都有自己的寿命值,测试前它们都是随机变量,分别记做X1、X2、…、Xn 。
称X1、X2、…、Xn为样本 —— 总体中的个体。测试后它们各自取到一批值:x1、x2、…、xn 。
称x1、x2、…、xn为样本值——样本取到的值。
称n为样本容量——样本的个数。
数理统计就是通过样本对总体做出推断,这就要求样本能够真实地反映总体,样本又是总体中为数不多的个体,那么什么样的样本可以做到这一点呢?就是随机样本。
定义:设X为总体,X1、X2、…、Xn为样本,如果每个样本Xi(i = 1、2、… 、n)与总体X的分布相同,即同分布;X1、X2、…、Xn之间相互独立;则称X1、X2、…、Xn为简单随机样本。
数理统计中所使用的样本就是这种样本。如果记总体X的分布函数为F(x)= P{ X x},则(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)= P{ X1 x1,X2 x2,…,Xn xn } = ∏ F(xi)
当总体X是连续型随机变量时,f(x)是它的概率密度,则(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度为f(x1,x2,…,xn)= ∏ f(xi)。
第二节 抽样分布
样本是统计推断的依据,但在使用时,要对不同的推断目标构造不同的样本函数。例如,要推断总体的均值E(X)时,需构造样本的均值,要推断总体的方差D(X)时,需构造样本的方差等等。由样本构成的函数称为统计量,定义如下。
定义 设X1、X2、…、Xn是来自总体X的一个样本,如果由样本构成的函数 g(X1,X2,…,Xn)不含有未知的参数,则称为它为一个统计量。
因为样本X1、X2、…、Xn是随机变量,所以g(X1,X2,…,Xn)也是随机变量。当各个样本取到样本值x1、x2、…、xn时,对应的统计量g(X1,X2,…,Xn)取到g(x1,x2,…,xn),称g(x1,x2,…,xn)为统计量g(X1,X2,…,Xn)的一个观测值。常见的统计量有:
样本均值,
样本方差 ,,
样本标准差 ,
样本k阶原点矩 ,
样本k阶中心矩
样本值x1、x2、…、xn是样本X1、X2、…、Xn的一个随机结果,自然,观测值g(x1,x2,…,xn)是统计量g(X1,X2,…,Xn)的偶然值。事实上,我们最后就是用偶然值g(x1,x2,…,xn)去推断总体的。那么,这个偶然值g(x1,x2,…,xn)有多大的价值?数理统计的主要工作就是分析这个“偶然值”。表面看,统计量g(X1,X2,…,Xn)取到观测值g(x1,x2,…,xn)是偶然的,但它也存在“必然”的成分。下面说明其中的道理。
假设两个随机变量、,其中μ1和μ2未知。它们的密度函数和图形如下:
如果用X的测试值x估计μ1,用Y的测试值y估计μ2,从上面的图形可以看出,当可靠性(概率)取相同值(如90%)时,y比x更“接近”它的待估计量。当要求两个“接近”相同时,y比x的可靠性更高。能够得到这些有价值的结论,应归功于我们知道了X和Y的分布。
综上所述,我们需要知道统计量g(X1,X2,…,Xn)的分布。那么,g(X1,X2,…,Xn)服从什么分布呢?不同的g会有不同的结果。下面给出几种
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