[常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组.docx

第五章 线性微分方程组[教学目标] 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。[考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。2.能够求解常系数线性微分方程组。§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如　 （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数和在区间上上是连续的。方程组（5.1）关于及是线性的.引进下面的记号：　 （5.2）这里是矩阵，它的元素是个函数.　　　 （5.3）这里，，是矩阵或维列向量。注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式　 （5.4）引进下面的概念。一个矩阵或者一个向量在区间上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间上的连续函数。一个矩阵或者一个维列向量：　在区间上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间上可微。它们的导数分别由下式给出：　不难证明，如果矩阵，及维向量，是可微的，那么下列等式成立：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）类似地，矩阵或者向量在区间上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间上可积。它们的积分分别由下式给出：　现在我们给出（5.4）的解的定义：定义１设是区间上的连续矩阵，是同一区间上的连续维向量。方程组　 （5.4）在某区间（这里）的解就是向量，它的导数在区间上连续且满足，现在考虑带有初始条件的方程组（５.４），这里是区间上的已知数，是维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。定义2 初值问题,　 　（5.5）的解就是方程组（5.4）在包含的区间上的解，使得。例2 验证向量是初值问题,在区间上的解。解　显然因为和处处有连续导数，我们得到因此是给定初值问题的解。正如在第而章所看到的，当时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当时，情况就复杂多了。在第四章中，我们讨论了带有初始条件的阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。考虑阶线性微分方程的初值问题　 （5.6）其中，是区间上的已知连续函数，，是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题 (5.7)其中　事实上，令这时　而且现在假设是在包含的区间上（5.6）的任一解。由此，得知在上存在、连续、满足方程（5.6）且。令其中,,,()，那么，显然有。此外，这就表示这个特定的向量是（5.7）的解。反之，假设向量是在包含的区间上（5.7）的解。令并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，由第二个方程得到,，由第个方程得到，由第个方程得到由此即得同时，我们也得到这就是说，是（5.6）的一个解。总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。值得指出的是：每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组，不能化为一个二阶微分方程。5.1.2 存在唯一性定理本节我们研究初值问题 ，　 （5.5）的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。对于矩阵和维向量，我们定义它的范数为　设是矩阵，，是维向量，这时容易验证下面两个性质：１）　２）　向量序列，，称为收敛的，如果对每一个数列都是收敛的。向量函数序列，称为在区间上收敛的（一致收敛的），如果对于每一个函数序列在区间上是收敛的（一致收敛的），易知，区间上的连续向量函数序列的一致收敛极限向量函数仍是连续的。向量函数级数称为在区间上是收敛的（一致收敛的），如果其部分和作成的向量函数序列在区间上是收敛的（一致收敛的）。判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量