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第八章 平面解析几何 第一节 直线与方程 【考纲知识梳理】 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为. ③倾斜角的范围. （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。 ②经过两点的直线的斜率公式是 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线斜率存在，设为，则 注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线 斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线 两点式 且 是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 一般式 A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线 注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则此公式为线段的中点坐标公式。 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离 平面上的两点间的距离公式 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。 四、两条直线的位置关系 【要点名师透析】 一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※ 2．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 ※例题解析※ 〖例〗已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。 （二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同； 2、求斜率的一般方法： （1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率； （2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法： 已知若，则有A、B、C三点共线。 注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 ※例题解析※ 〖例〗设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证： （三）两条直线的平行与垂直 〖例〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）； （2）∠MPN是直角。 二、直线的方程 （一）直线方程的求法 ※例题解析※ 〖例〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。 （二）用一般式方程判定直线的位置关系 ※相关链接※ 两条直线位置关系的判定 已知直线，，则 （1） （2） （3） （4） ※例题解析※ 〖例〗已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）⊥时，求的值。 （三）直线方程的应用 ※相关链接※ 利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。 另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。 注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。