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2.设,其中具有二阶连续偏导数,求. 3.设函数在点处可微,且 求. 4.设是由方程和所确定的函数,其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求. 5.设其中都具有一阶连续偏导数,且求. 6.设函数有二阶连续偏导,满足并且存在一元函数,使求 7.求在圆周上的最大值和最小值. 8.设某种产品欲投入两种要素,和分别是两种要素的投入量,其价格分别为常数和,为产品的产出量.设生产函数,其中为常数,和是参数,且满足.当成本为时,试确定两种要素的投入量,以使产量达到最高. 习题精选五参考答案 填空题 1.2. 2.0. 3.. 4.. 5. 二、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(C) 4.(A) 三、解答题 1. 2. . 3.51． 4.. 5.. 6.. 7.. 8.当时,达到最高,其中. 第六章 二重积分 §1 知识要点精讲 1.二重积分的定义 设是有界闭区域上的有界函数,将闭区域D任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域,也表示它的面积.在每个上任取一点 ,作乘积,并作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时,这个和的极限总存在(与的分法及的取法均无关),则称此极限值为函数在闭区域上的二重积分,记作,即. 注1: 二重积分的几何意义:当时,二重积分表示以为底,曲面为顶,侧面是以的边界曲线为准线,母线平行于轴的曲顶柱体的体积. 注2：若在有界闭区域上连续,则二重积分一定存在. 2.二重积分的性质 设在有界区域上可积,则有 ① (为常数) ②,其中,而且除边界外,没有公共点. ③若在上,,则. 注1: . 注2: 若在区域上连续,,且,则有严格不等式. ④(二重积分的中值定理)设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得.特别地, 【例6.1】设是由直线和所围成,记 试用二重积分的性质比较的大小. 【详解】因为在积分区域内有所以在内有.根据二重积分的性质知. 利用直角坐标计算二重积分 若,则, 见图1-6-1. 若,则, 见图1-6-2. 注:二重积分本质上可化成定积分进行计算.根据区域的不同形状,可先定的变化范围,再定的变化范围,即先对积分再对积分;也可反过来考虑.有时两种方式都可以,有时只能用其中一种方式计算,如何定积分次序才会尽量简便,可参考经验方法:先看被积区域的边界曲线方程,哪个变量次幂高或哪个变量关系复杂,先定哪个变量,即后对此变量积分;若被积函数只有一个变量,一般先定此变量,即后对此变量积分. 利用极坐标计算二重积分 令,若,如图1-6-3所示,则 注1: 若积分区域为圆域或圆域的一部分,被积函数为形如等,可考虑采用在极坐标系下进行计算,注意化为极坐标后,面积元素,不要遗漏了. 注2： 若极点在积分区域的边界上,可以表示为,如图1-6-4所示,则 . 注3：若极点在积分区域的内部,的边界方程为,如图1-6-5所示,则 . 【例6.2】计算,为由不等式所确定的在第一象限内区域. 【详解】如图1-6-6所示,积分区域为圆域的一部分,可转换为极坐标系下的二次积分来计算.积分区域可表示为,于是 . 注1：不能因为极点在积分区域的边界上,就误认为分次积分对积分的积分下限是0. 注2： 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先后,定限时仍采用穿线法.为确定的变化范围,令极轴沿逆时针方向转动,极轴与积分域开始接触时的角即为的下限,离去时的角即为的上限.穿线是固定找的变化范围,由于极径,故穿线为从极点出发作射线穿过区域,穿入时碰到的的边界曲线为下限,穿出时离开的的边界曲线为上限. 如果二元函数的积分区域是无界的,则类似于一元函数,可以定义二元函数的广义积分. 【例6.3】计算普哇松积分. 【详解】因为的原函数不是初等函数,所以不能直接用定积分的牛顿-莱布尼茨公式求出积分的值.设, 其中区域是整个第一象限,如图1-6-7所示. 将写成 又用极坐标计算有:由于可表示为.所以 , 于是,故,即 . §2 重要公式与结论 一、二重积分的性质 1.线性运算性质：. 2.积分可加性:,其中,而且与除边界外没有其他公共点. 3.积分中值定理:设函数在闭区域上连续,表示的面积,则在上至少存在一点使得 . 二、二重积分的对称性 1.若关于轴对称,则 其中为的上半平面部分. 2.若关于轴对称,则 其中