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经典讲义C 一般地，已知给出变限积分，往往利用变限积分求导。此题中，,目的是使分部积分第一项，以简化计算。 设函数连续，且，已知，求的值。 【分析】 本题直接从已知等式去计算定积分比较困难。考虑到题设条件中含有变限的定积分，一般来说，首先应想到对变限积分求导，而求导之前，应将被积函数中的x通过变量代换，换到积分号外或积分限上去。 【详解】 作变量代换，则 于是 因此原等式变换为 上式两边对x求导，得 即 令得 故有 【评注】 一般地，对于形如的变限积分求导问题，都是要求先作变量代换：然后再进行相关的讨论。 设连续，且满足 求。 【详解】 （令xt＝u） （令t＝） 所以 原方程化为 所以 【例4.60】设在[0，1]上连续，且，求 【详解】 令所以 ＝ ＝ ＝ 【评注】 一般情况下，若积分中含有变限积分，则可借助于分部积分法，实现对变限积分的求导，从而简化运算。 【例4.61】设函数连续，且求极限 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必达法则，但分子分母求导前应先变形。 【详解】 由，于是 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【评注】 （1）本题综合考察了变限积分求导与洛必达法则，被积函数中包含变量x，应设法将x提到积分号或积分上下限中去，其关键是先作变量代换。 （2）一般来说，被积函数的中间变量是非积分变量时均应先考虑换元。即对变限积分一般应先作变量代换：然后再进行相关的讨论。 （3）本题容易出现的错误是：在利用一次洛必达法则后，继续使用洛必达法则 ＝ 错误原因：未必可导。 【例4.62】设是区间[0，]上的单调、可导函数，且满足 其中是的反函数，求。 【分析】等式两端先对x求导，再积分即可。 【详解】在等式两端先对x求导，得 即 也即 于是 ＝ 由题设知，，于是C＝0，故＝ 【评注】 由于的定义域为[0，]，因此的值域为[0，]，于是知。 题型七 定积分循环计算法 【例4.63】 求I＝ 又 ＝ ＝ 即 所以 【评注】 有些积分不能直接求出，循环计算法是解决此类积分的一个常用方法。是典型的此类积分。 题型八 几类特殊积分问题 类型1 分段函数求积分 【例4.64】 设＝ 求函数的表达式。 【分析】 由的定义，分段积分即可。 【详解】 当时，有 ＝ 当时，有 ＝