向量代数与空间解析几何-5-6.ppt.ppt

* * 一. 平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面， 求过点 且法向量为 第五节 平面及其方程 的平面 的方程。 这向量叫做该平面的法向量 。 设 是平面上任一点，则 得 -------- 平面的点法式方程。 由平面的点法式方程得所求平面的方程为 即 例1 求过点（2，-3，0）且以 n ={1，-2，3}为法向量的平面 的方程。 解 解 由平面的点法式方程得所求平面的方程为 即 的方程。 例2 求过三点 和 的平面 二. 平面的一般方程 三元一次方程 （A、B、C不全为零） （1） 叫做平面的一般方程。 （2） 任何一个三元一次方程（1）都表示一个平面。这时法向量 （1） 任何平面的方程都可以化成三元一次方程（1）的形式。 特殊的三元一次方程的图形的特点： （如图所示 ）。 （3）当 时， 平面平行于 平面 方程化为 （4）当 时， 表示 平面。 （1）当 时， 平面过原点。 （2）当 时， （如图所示 ） 。 平面平行于 z 轴 （A、B、C不全为零） （1） A=0?orB=0? B=C=0? 又因平面过点 所以有 解 例3 求通过 的平面的方程。 轴和点 因为平面通过 轴， 且 所以 设所求方程为 故所求平面的方程为 取 则 设所求平面方程为 例4.设一平面与 x、y、z 轴的交点依次为 三点，求这平面的方程.（其中 设所求平面的方程为 故所求平面的方程为： 这种方程叫做平面的截距式方程 。 解 根据已知条件得 取 则 三. 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角就是 设两平面 和 的法向量为 ， 两平面的夹角（通常指锐角）。 则两平面夹角 的余弦为 解 因此，所求夹角 例5 求两平面 和 的夹角。 两平面平行和垂直的充要条件： 设所求平面的一个法向量为： 由平面的点法式方程得所求平面的方程为 即 求它的方程。 例6 一平面过两点 且垂直于平面 和 解 的法向量为 平面 四.点到平面的距离 而 求点 的距离 到平面 设 是与 同方向的单位向量， 有 在平面上任取一点 平面法向量为 则 为 在 上的投影. 所以 由此得 点 到平面 的距离公式： 例7 解 利用上述公式可得 小结： 点法式方程 一般方程 2.两平面的夹角 4.点到平面的距离 截距式方程 3.两平面平行、垂直、和重合的条件 1.平面方程的三种常见形式 1．一般方程 一．空间直线的方程 第六节 空间直线及其方程 可以表示为： 这种方程叫做空间直线的一般方程。 空间直线 可以看作是两个平面 和 的交线， 因此直线 的方程 2．对称式方程（点向式方程） 如果一个非零向量平行于一条直线， 这个向量叫做直线的方向向量。 求过点 方向向量为 的直线 方程． 设点 是直线 L 上任一点， 则 由 得: 这个方程叫做直线的对称式方程或点向式方程; 叫做直线的一组方向数; 向量 的方向余弦叫做该直线的方向余弦。 也可以写成 （1）若 中有一个为 例如 这时方程组应理解为 方程应理解为 说明： 该直线是一条垂直于 轴 （或平行于 面） 的一条直线。 该直线是一条平行于 轴的一条直线， 与 面的交点为 如 而 时， （2）若 中有两个为 3、参数方程 这个方程叫做直线的参数方程 。 如设 那么 例1.用对称式方程及参数方程表示直线 解 又因两平面的法向量为 所以 是直线的一个方向向量。 因此，所给直线的对称式方程为： 参数方程为 取 则 是直线上一点。 即 已知点？ 方向向量？ 二.直线、平面间的关系 1.两直线的夹角 两直线平行和垂直的充要条件： 2.直线与平面的夹角 直线与平面平行和垂直的充要条件：