國中數學(四)11-1數列1.數列的意義2.等差數列1-2等差級數1.級.doc

1-1 數列 1. 數列的意義 2. 等差數列 1-2 等差級數 1. 級數的意義 2. 等差級數的和   數列的意義 (1) 逛超級市場，可以看到貨架上 有規律地堆置一排一排的罐頭 食品。如右圖，由上而下各層 放置的罐頭數目依序是 2，4，6，8，10，12，14，16 (2) 某種品牌鞋子的鞋底長有14種尺碼，由小而大依序是 22，22，23，23，…，28，28 其中最小的是22（公分），最大的是28（公分）。 (3) 圓周率π＝3.1415926535897932 … ，其前10個數字是 3，1，4，1，5，9，2，6，5，3 上面例子中的 (1) 2，4，6，8，10，12，14，16 (2) 22，22，23，23，…，28，28 (3) 3，1，4，1，5，9，2，6，5，3 都是依序排成一列的數，我們稱這一串數為數列。 　　上面的數列一般可寫成： a1，a2，a3，…，am 其中，a1、a2、…、am都叫做這個數列的項，a1叫做第1項（或首項），a2叫 做第2項，…，am叫做第m項（或末項），也就是說：我們用足碼n（n＝1 2、…、m）表示an是這個數列的第n項。為了方便，這個數列可以簡記為 ＜an＞。 　　例如：數列＜an＞：2，4，6，8，10，12，14，16，共有8項，項數為8其中第1項（首項）a1＝2，第2項a2＝4，…，第8項（末項）a8＝16。 街道一側的門牌號碼依序形成一個連續偶數的數列 ＜an＞：2，4，6，8，…，200，202 (1) 寫出a1、a2、a3、a4、a5。 (2) 寫出第n項an。 (3) 178是第幾項？ 解：因為門牌號碼都是偶數，所以a1＝2 × 1 a2＝2 × 2 a3＝2 × 3 a4＝2 × 4 a5＝2 × 5 (2) 由 (1) 可推知第n項an＝2n。 (3) 設an＝178，則2n＝178，n＝89，故178是第89項。 　　例題一之數列的第n項可用n表示成2n，我們稱此數列的一般項為2n。 街道另一側的門牌號碼依序形成一個連續奇數的數列 ＜bn＞：1，3，5，7，…，199，201 (1) 寫出b1、b2、b3、b4、b5。 答： b1＝1，b2＝3，b3＝5，b4＝7，b5＝9 (2) 寫出第n項bn。（提示：與例題一的an做比較） 答： bn＝2n － 1 (3) 187是第幾項？ 答： 2n － 1＝187，n＝94，故187是第94項。 　　全部的正偶數、正奇數由小而大分別構成一個數列： ＜an＞：2，4，6，8，… ＜bn＞：1，3，5，7，… 正偶數形成的數列＜an＞，其第n項（即一般項）的公式為an＝2n。由於 b1＝a1 － 1，b2＝a2 － 1，b3＝a3 － 1，…，bn＝an － 1，所以可以推知正奇數形成的數列＜bn＞，其第n項（即一般項）的公式為bn＝2n － 1。 　　全部正偶數（或正奇數）形成的數列有無限多項，一個項數無限多的數列叫做無限數列；項數有限多的數列叫做有限數列。 　　一般而言，如果已知數列＜an＞的一般項公式（用n的式子表示an），那麼就可以求出此數列的每一項。 依據下面數列的一般項公式，寫出該數列的前4項。 (1) ＜an＞：an＝　　　　　　　 (2) ＜bn＞：bn＝2n 解：取n＝1、2、3、4分別代入一般項公式： n 1 2 3 4 an＝ bn＝2n 2 4 8 16 1. 設an＝，則a1＝，a2＝，a3＝。 答：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝ 2. 設bn＝（－ 1）n，則b1＝　－ 1　，b2＝　1　，b3＝　－ 1　。 答：b1＝ ( － 1 )1＝－ 1，b2＝ ( － 1 )2＝1，b3＝ ( － 1 )3＝－ 1 　　無限數列除了前面正偶數或正奇數所形成的數列外，還有很多。例如：把 分數化成小數，得到＝0.181818 …（小數點後有無限多位）。將小數 點以後的數字，依序排成數列＜an＞：1，8，1，8，1，8，…，這個數列的項 數有無限多，它也是無限數列。 求數列＜an＞：1，8，1，8，1，8，… 的第96項及第2007項。 解：因為數列＜an＞：1，8，1，8，1，8，…中， 「1、8」這一組數字一直重複循環出現， 所以數列＜an＞奇數項的值都是1，偶數項的值都是8。 因為96為偶數，2007為奇數， 故第96項＝8，第2007項＝1。 　　將化成小數，其值為0.181818 …，小數點以後數字「1、8」重複循環出現，這種小數叫做循環小數，簡記作＝0.，其中18叫做的循環節。 已知＝0.（即小數點以後