[高等数学第一章第一节修改稿.docVIP

第一章 函数与极限 函数是微积分的主要研究对象，而极限又是研究函数的基本工具，虽然极限的概念属了解内容，但是对与极限有关的概念与方法的正确理解与深刻思考，将有助于全部微积分内容的学习。在本章中我们将介绍极限的概念、性质和运算法则；介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要角色的无穷小量；我们还将求得两个应用非常广泛的重要极限。学好这些内容，准确理解极限概念，熟练掌握极限运算法则，是学好微积分的基础。 本章的后半部分将通过极限引入函数的一类重要性质——连续性。连续性是对客观世界广泛存在的连续变动现象的数学描述。函数在一点处连续与函数在一个区间上的连续则分别描述了函数的微观性态和宏观性态，两者相辅相成，学好这节内容，对掌握微积分全部内容与技巧有重要的影响与作用。 函数的概念与性质 一、集合 1.集合概念 集合是最基本的数学概念之一.所谓集合,指的是具有一定性质的对象的全体,通常用大写英文字母,,,等表示集合.集合中的对象称为该集合中的元素,通常用小写英文字母等表示. 对于集合,如果对象是集合的元素,则说属于,记作；如果对象不是集合的元素,则称不属于,记作.不含任何元素的集合称为空集,记作.一个集合若其元素的个数是有限的，则称作有限集，否则称作无限集。集合的表示通常有两种方法，一种是列举法, 另一种是描述法. 下面这几个常用的数集可用列举法或描述法这样表示： 自然数集， 整数集， 有理数集 实数集 有时我们在表示数集的字母的右上方加上“*”、“+”、“-”等上标，来表示该数集的几个特定子集。以实数集为例，表示排除了数0的实数集；表示全体正实数组成的集合；表示全体负实数组成的集合。其他数集的情况类似，在此不再一一赘述。 设是两个集合,如果的所有元素都属于,则称是的子集，记为.例如.显然对任何集合，都有。规定空集是任何集合的子集，即。 2．集合运算 集合的基本运算有并、交、差、补四种。 设是两个集合，由所有属于或者属于的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即； 由所有既属于又属于的元素组成的集合，称为与的交集，记作，即； 由所有属于而不属于的元素组成的集合，称为与的差集，记作，即。 有时在研究某个问题时，问题中所涉及的集合总是某个最大集合的子集，此时称是全集；当时，称由中不属于的元素的全体组成的集合为的补集或余集，并记为，即。 例如偶数集关于整数集的补集为奇数集；有理数集关于实数集的补集为无理数集。 3.区间与邻域 在高等数学课程中，最常遇到的实数集的子集是区间。 设，是两个实数，则满足不等式的所有实数的集合称为以，为端点的开区间，记为 ； 满足不等式的所有实数的集合称为以，为端点的闭区间，记为 ； 满足不等式或称为以，为端点的半开半闭区间，分别记为 或 。 上述几类区间的长度是有限的，称为有限区间。除此以外，还有下述几类无限区间（或无穷区间），引进记号（读作正无穷大）及（读作负无穷大），则可用类似地记号表示无限区间，例如 ； ； ； 和(即实数集)。 邻域也是一个经常用到的概念。以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作。 设是任一正数，则开区间就是点的一个邻域，这个邻域称为点的邻域，记作，即 。 点称为这邻域的中心，称为这邻域的半径（图1-3） 由于相当于，因此， 所以表示与点的距离小于的一切点的全体。 点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作，即。 为方便起见，把开区间称为的左邻域，把开区间称为点a的右δ邻域。 二、映射 1．映射概念 定义 设是两个给定的集合，如果按照某个确定的对应法则，使对于集合中的每一个元素，都可以找到集合中惟一确定的数与之对应，那么就称这个对应规则是从集合到集合的一个映射，记为 ： 其中称为映射下的像，称为映射下的一个原像，通常记。集合称映射的定义域，记作；而在映射之下，中元素的像的全体称为映射的值域，记作，即。 从映射定义看出，构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合，即定义域； （2）集合，即值域的范围：； （3）对应法则，使每一个，有惟一确定的与之对应。 需要注意的是： （1）映射要求元素的像必须是惟一的。 例如，设，，而对应法则要求对每一个，它的像且满足关系，这样的不是映射，就是因为不满足像的惟一性的要求。 （2）映射并不要求原像也具有惟一性。 例1 设是平面上所有三角形的全体，是平面上所有圆的全体。因每个三角形都有惟一确定的外接圆，若定义对应法则：是三角形的外接圆，则显然是一个映射，其定义域与值域分别为和。 例2 记，，下面所规定的对应关系显然也是一个映射：，，，则的定义域为，。 例3 设，对每个，。显然是一个映射，的定义域，值域，它是的一个真子集。对于中的元素，除外，它的原像不是惟一的。如的原像就有和两个。 例