[高等数学概念定理推论公式2.docVIP

※ 级数 ·几何级数公式r的绝对值|r|1时收敛；|r|≥1时扩散。 ·若级数收敛于s，则级数每项乘以一个不为零的常数k所得的级数收敛于ks。 ·收敛级数各项相加(减)后的级数收敛于各级数和的和(差)。 ·收敛级数前面加上(或减去)有限个项，不会影响级数的收敛性，但会影响级数和的值。 ·收敛级数加括弧后所形成级数仍然收敛于原级数的和。 ·若级数(1)收敛，则当n无限增大时，它的一般项必趋于零。即若级数的一般项不趋向于零，则该级数扩散。但一般项趋于零的级数并不一定收敛，如调和级数 ·正项级数为收敛的充分必要条件是，它的前n项的和所构成的数列sn为有界。 ·两级数和，若收敛并且≤，则收敛；若扩散并且≥，则扩散。 · 级数：，当≤1时发散；当1时收敛。 ·设正项级数之后项与前项的比值的极限等于：，则当1时级数收敛；当1(或)时级数发散；当=1时，级数可能收敛也可能发散。 ·设正项级数一般项的次根的极限等于：，则当1时级数收敛；当1(或)时级数发散；当=1时，级数可能收敛也可能发散。 ·设级数的各项可以看作是区间上正的减函数(连续的)相应于的各个值：，则广义积分： 收敛或发散时，级数也随之收敛或发散。 ·若交错级数满足条件：≥；，则级数收敛，其和≤，其余项的绝对值||≤。 ·若任意项级数的各项的绝对值所成的级数收敛，则原级数收敛。 注意：并不是每个收敛级数都是绝对收敛的，若级数收敛绝对级数发散，则称为条件收敛级数。 ·绝对收敛级数不因改变各项的位置而改变它的和(绝对收敛级数具有可交换性)。 ·设两级数；都为绝对收敛级数，它们逐项相乘后按下列排序的级数也是绝对收敛的，且和等于。 ·广义积分的收敛性： 设在区间≤＜内连续函数≥0。如果存在常数，使得≤(≤＜)，则积分收敛；如果存在常数，使得≥(≤＜)，则积分发散。 设在区间＜≤内连续函数≥0，但。若存在常数，使得≤(＜≤)，则积分收敛；若存在常数及≥1，使得≥(＜≤)，则积分发散。 设在区间≤＜内连续函数≥0。如果存在常数，使得，则积分收敛；如果(或)，则积分发散。 设在区间＜≤内连续函数≥0，但。若存在常数，使得存在，则积分收敛；如果存在常数≥1，使得(或)，则积分发散。 ·广 义积分对于一切＞0时收敛。 ·-函数： 当时，； 如果为正整数， 如果为任意数但不等于0，-1，-2，…，而为正整数，则： ◎积分中令，则；再令，则。 · 函数项级数 ◎ 如果有常数≥0(n=1,2,…)满足条件：级数的一般项的绝对值在区间上适合不等式：≤；正项级数收敛，则级数在上一致收敛。 ◎ 若级数的各项在区间上都是连续的，而且级数一致收敛，则它的和在该区间上也是连续的。 ◎ 若级数的各项在区间上都是连续的，而且级数一致收敛，则它可逐项积分，就是其中是上任意两点，并且积分后组成的级数在上也一致收敛。 ◎ 若级数在区间上收敛于和，它的各项都具有连续导数，并且级数在上一致收敛，则原级数在该区间上也一致收敛并且可逐项微分，就是。 · 幂级数(其中叫幂级数的系数) 若幂级数当时收敛，则当一切适合不等式时，级数绝对收敛。反之若它当时发散，则当一切适合不等式时它发散。 若幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数存在，它具有下列性质：当级数绝对收敛；当级数发散；当级数可能收敛也可能发散。 设极限，其中是幂级数相邻两项的系数。若；若；若。 幂级数相加减等于将各相应项的系数相加减。 幂级数相乘与两多项式相乘法则相同。 幂函数相除，当第二个幂函数首项时，设商的各项依次为，则按方法求得商的系数。 设幂级数的收敛半径，则在收敛区间内它的和是个连续函数。 幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，即在幂级数收敛区间内的任意一点，有。 幂级数在其收敛区间内可以逐项微分，即在幂级数收敛区间内的任意一点处，有。 · 泰勒级数 ◎ ◎ 当时具有特殊形式(麦克劳林级数) ◎ 如果函数可以表达为幂级数时，则它的展开式是唯一的：。 ◎ 牛顿二项式定理： ◎ 尤拉公式：或 ※ 傅立叶(富里哀级数) ·三角级数：在区间上之中任何两个不的函数乘积的积分为零。 ·； ·三角级数收敛于：，称为的傅立叶级数 ·尤拉-傅立叶公式：(称傅立叶系数) ·设函数在区间上连续或只具有有限个第一类间断点(第一类间断点：即函数在该点(假设点)的左右极限存在但不相等，或存在且相等但不等于)；函数在区间上只具有极大点和极小点(即把区间分为有限个子区间，使函数在子区间内是单调的)，则由傅立叶系数所定出的傅立叶级数，在区间上收敛，并且它的和：当为的连续点时，等于；当为的间断点时，等于；当为区间的端点时，就是当时，等于。 ·当偶函数在区间上展开为傅立叶级数时，它的傅立叶系数(包