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微分中值定理应用举例 单调性与极值 1.函数在上，比较的大小. 解：在上满足拉氏中值定理条件，存在，使得.由于，所以单调增加，而，所以， 即. 2.函数在上，比较的大小. 解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有 3.在内,判断在内的符号. 解：，所以在内为奇函数，为偶函数，为奇函数，在内，所以在内. 4.已知函数在区间内具有二阶导数,且严格递增, ，则：A.在内均有；B.在内均有；C. 在内均有，在内均有； D. 在内均有，在内均有. 解：令，则， 0 减 0 增 极小值 选择B. 5 .设处处可导,则 A.必；B. 必 C. 必；D. 必 解：选择D (A,C的反例，B的反例) 6.设函数在上有界且可导，则 A. 必 ;B. 存在，必； C. 必; D. 存在，必； 解：选择A (B,C,D的反例) 7. 设函数在的邻域内连续,且，，则在处 A. 不可导; B.可导,且; C.取极大值; D.取极小值 解： 所以 所以在可导，且. ，而，所以在的某邻域内，所以在处取极小值. 8. 为恒大于0的可导函数,且，则当时 A. ；B. ; C. ; D. 解：，所以为减函数， 即当时，又为恒大于0， 所以，选择A 9.设有二阶连续导数,且， A.是的极大值;B. 是的极小值; C. 是曲线的拐点; D. 不是的极值;也不是曲线的拐点. 解：，所以在的邻域内，即曲线是凹的，又，所以是的极小值.选择B 10.设函数在的某个邻域内连续, 为的极大值,则存在,当时,必有: A. ； B. ; C.； D. . 解：为的极大值，则存在，和时， 都有，所以时, ，所以A,B都不正确. ，由于，所以. 选择C 11.设函数在内有定义, 是函数的极大值点,则 A. 必是的驻点;B.必是的极小值点 C. 必是的极小值点; D.对一切都有 解：选择B 12. ，则在处 A. 导数存在,且； B.取极大值; C.取极小值; D . 导数不存在 解：，所以在的某去心邻域内有， 所以在处，取极大值. 9 .证明：的最大值 证明：令，， ，所以时， 且时，时，所以时的唯一极大值，也是最大值.而的最大值必是中的一个，而，所以是的最大值. 不等式的证明 1.当时，证明：； 证明：令 ，所以时单调减， 而， 所以时，，即. 2. 当时，证明：； 证明：时，令， ， 单调减， 而， 所以时，，即. 方法二，时， ，令， 则在区间上用拉格朗日中值定理有： 其中，所以，即有. 3.证明：； 证明：设 则 ，令，得唯一驻点 ，所以是的极小值点，所以又 所以，即. 4.当，证明 ； 证明：因为，所以，所证等价于 零，则，所以时单调增加， 而，所以，即，即. 5.，证明：； 证明：只需证 令，则， 所以单调减少，而，所以时 即单调减少，而，所以时， 即，即. 6.设，证明： 证明：只需证明，设， ，所以单调增加， 又，所以时， 故单调增加. 因此，时，而， 所以，即时，. 所以. 7．设在上可导，且单调递减， 证明：对任意正数，都有 证明：不妨设，令 则，当时有，由于单调递减 所以，即，所以单调增，即时 所以时，， 即. 8.设，证明：； 证明： 存在，所以可导，所以可导连续，又， 所以，既有 令，， ，所以是的唯一极小值点，所以， 既有. 9.，证明：； 证明：令， 令，，所以时，单调减 ，所以，而此时，所以，而 所以时，时，，所以在时单调减少，且，所以时，即. 10. ，证明：； 证明：令，则 ，令 由上题知时，，所以 即在时单调减少.所以时， ， 所以，即 11.证明：时，； 证明：令，， 时，，曲线在上是凸的， 而，时，，即. 12.设在上函数有连续导数，且. 证明： 在内有且仅有一个零点. 证明：令，则.所以，在内单调增加，时，，所以. 所以，存在，，又，所以在内有根，又，所以单调增加，所以在内有且仅有一个零点. 13.设在连续在内存在且大于零， 记，证明：在单调增 证明： 令， 则时， 所以，所以，即在单调增. 关于根的存在及个数问题 1.已知，讨论实根的个数. 解：令，， 令，由于， 所以没有根，既有 由于，由于在内连续，所以至少有一个根. 如果方程有两个实根，则在内满足拉格朗日中值定理，所以存在，使得，这矛盾，所以只有一个实根. 练习：设函数在闭区间上可微,对上的任意,函数的值都在开区间内,且，证明:在内有且仅有一个使得（令） 2.求证方程恰有一个实根.(其中为常数,) 证明：令，取，则 ，由在上连续，由介值定理知，存在，使得，所以方程有一个实根. 又，由于，所以，即单调增，所以只有一个实根. 3.设，求在内根的个数. 解：，得唯一驻点，且为函数极小值点， 所以在内根的个数为0. 练习：确定方