信号与系统z变换教学信号与系统z变换教学.ppt

10.0 引言 前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。 10.1 z 变换定义 一、离散时间特征函数 二、离散时间信号的z变换 为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系 三、z变换的几何解释和收敛域 如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！ 例 指数函数的z变换 Z变换的结果 X(z)=z/(z-a) 是一有理函数，因此，可用它的零点和极点来表示。 例 例 两个实指数信号之和 10.2 z变换的收敛域 性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 性质2：ROC内不包括任何极点。 性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于ROC内，那么0|z| r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。 性质6：如果x[n]是双边序列，并且|z|=r0的圆位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的圆环所组成。 性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。 例 有一z变换X(z)为 10.3 z反变换 由已知z变换求得一个序列的几种方法。 一、z反变换公式 三、长除法 思想： 如果z变换像函数是有理函数，即其分子分母皆为z-1或z的多项式，则可先根据其收敛域判断出是右边序列还是左边序列，然后采用长除法，分别展开成z的负幂无限或正幂无限的幂级数，再按z变换的定义确定各个序列值。 10.5 z变换性质 一、线性 二、时移性质 例 三、z域尺度变换 四、时间反转 五、时间扩展 七、卷积性质 Re(z) Im(z) × × 单位圆 因此,x[n]为： 例 有一z变换X(z)为 解：对X(z)进行部分分式分解 Re(z) Im(z) × × 单位圆 Re(z) Im(z) × × 单位圆 因此,x[n]为： 例 有一z变换X(z)为 解：对X(z)进行部分分式分解 Re(z) Im(z) × × 单位圆 Re(z) Im(z) × × 单位圆 因此,x[n]为： 在一般情况下，X(z)为有理函数， 若X(z)的收敛域为|z|R1，则x[n]必然为一右边序列，此时N(z)和D(z)按z的降幂次序进行排列。若X(z)的收敛域为|z|R2，则x[n]必然为一左边序列，此时N(z)和D(z)按z的升幂次序进行排列。然后利用长除法，将X(z)展开为幂级数，得到x[n]。 例 考虑一个z变换X(z)为 利用长除法展开 长除法的局限性： 长除法只适用于有理形式的z变换，且收敛域限于某个圆周的内部或外部，对于收敛域为有限圆环的有理像函数，其z反变换为两边序列，就无法用长处法。 利用长除法要归纳出序列表达式，也不是那么容易的！ 则 若 但有时候会扩大 若 则 重要应用：差分方程的z变换！ 由于 所以 若 则 若 则 若 则 六、共轭 若 则 注：若x[n]为实函数，如果X(z)有一个极点或零点为复数在z=z0处，那么X(z)也一定有一个复数共轭的 极点或零点，且对于X(z)的部分分式展开式中的系数也互为共轭。 若 则 ROC=R1 ROC=R2 ROC?R1?R2 八. Z域微分 If ROC=R ROC =R Then x[n]=0 n0(x[n]为因果序列） 九. 初值、终值定理 终值定理： 初值定理： 收敛域包括单位圆 10.6 常用变换对 表 10.2 10.7 利用Z 变换分析和表征LTI系统 一、因果性 一个具有有理系统函数H(z)的LTI系统要是因果的,当且仅当: (a)ROC位于最外层极点外边某一个圆的外边 (b)若H(z)表示成z的多项式之比,其分子的阶次不能大于分母的阶次。 二、稳定性 一个LTI系统当且仅当它的系统函数H(z)的ROC包括单位圆（|z|=1）时,该系统就是稳定的。 一个具有有理系统函数的因果LTI系统,当且仅当H(z)的全部极点都位于单位圆内时,也即全部极点其模值都小于1时,系统就是稳定的。 三.频率响应的几何确定法 若系统函数的收敛域包括单位圆，则其存在傅立叶变换，而且可以直接根据系统函数： 这里设N=M，则可以直接得出其频率响应： 其幅频特性： 相频特性为： 四、 由线性常系数差分方程表征的LTI系统 例：考虑一因果的LTI系统，其输入x[n]