《105002等差、等比数列及其前n项和.docVIP

105002 等差、等比数列的概念、性质及其前n项和 【考纲要求】 1． 理解等差等比数列的概念． 2．掌握等差等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系． 【把脉考情】 从近两年的高考试题来看，等差等比数列的判定，等差等比数列的通项公式、前n项和公式以及与前n项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高；客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查了函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法． 预测2012年高考仍将以等差等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力． 【知识梳理】 一、公式、性质 等差数列 等比数列 定义 公式 性质 1． 2．构成新的等差数列 3．若，则 4．成等差数列 5．Sm+n=Sm+Sn+mnd 1． 2．构成新的等比数列 3．若，则 4．不一定成等比数列(如:) 5．Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 二、方法归纳 1．等差数列的判定方法 （1）定义法：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)?{an}为等差数列； （2）中项公式法：2an＝an＋1＋an+1(n≥2)?{an}为等差数列； （3）通项法：an为关于n的一次型函数an＝An+B?{an}为等差数列； （4）前n项和公式法：Sn为关于n的二次型函数Sn＝An2＋Bn?{an}为等差数列。 2．等比数列的判定方法 （1）定义法：＝q(q为非零常数，n≥2)?{an}是等比数列． （2）中项公式法：若非零数列{an}中，＝an-1·an+1(n≥2)? {an}是等比数列． （3）通项公式法：若数列通项公式an为关于n的指数型函数?{an}是等比数列． （4）前n项和公式法：若数列前n项和，则{an}是等比数列． 【考点突破】 〖考点1〗等差、等比数列的概念 1．(1)若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的序号是 ①③④⑤ ①，②，③④⑤ (2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则下列数列中仍为等比数列的序号是 ①②③④⑤ ①{3an}，②{}，③{a}，④{an·bn}，⑤{}，⑥{2an-bn}． 2．已知等差数列{an}、{bn}的公差分别为2和3，且bn∈N*，则数列是(B) A．等差数列且公差为5 B．等差数列且公差为6 C．等差数列且公差为8 D．等差数列且公差为9 解析：依题意有＝a1＋(bn－1)×2＝2bn＋a1－2＝2b1＋2(n－1)×3＋a1－2＝6n＋a1＋2b1－8，故abn＋1－abn＝6，即数列{abn}是等差数列且公差为6． 3．已知数列{an}对任意，都有，若，则 。4 解法一：由，得，所以{an}是等差数列。 解法二：，又，所以 4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n．设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列． 证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1． 又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． 5．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求证：{cn}是等比数列． 证明：an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an． (1)＝＝＝＝2，∴数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1．∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2， ∴a2＝5．∴b1＝a2－2a1＝3． (2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， ∴－＝3．∴数列{}是等差数列，公差为3，首项为2．∴＝2＋(n－1)×3＝3n－1． ∴an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2．∴＝＝2． ∴数列{cn}为等比数列，公比为2． 6．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n＋1(n＝1,2,3，…)． (1)若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d； (2)证明{an}不可能是等比数列； (3)若a1＝－1，求{an}的通项公式以及前n项和公式． 解：(1)因为{an}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，于是有a1＋nd＝2[a1＋(n－1)d]＋n＋1，整理得a1＋nd＝(2a1－2d＋1)＋(2d＋1)n，因此，解得a1＝－3，d＝－1． (2)证明：假设{an}是等比数列，设其首项为a1，则a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋3＝4a1＋7