《101高代学.docVIP

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 数域的定义 定义（数域） 设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。 命题 任意数域K都包括有理数域Q。 证明 设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是 。 进而Z, 。 最后，Z，，。这就证明了Q。证毕。 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。 定义（集合的映射） 设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为 如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。 若都有 则称为单射。若 都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域上个数，我们使用如下记号： , . 当然也可以写成 , . 2. 求和号的性质. 容易证明， 事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状： 分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课 §2一元高次代数方程的基础知识 1.2.1高等代数基本定理及其等价命题 1. 高等代数基本定理 设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。 定理（高等代数基本定理） C的任一元素在C中必有零点。 命题 设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C上首项系数为的次多项式，使得 证明 对作数学归纳法。 推论 为的零点，当且仅当为的因式（其中）。 命题（高等代数基本定理的等价命题） 设 为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使 证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设是一个数域，是一个未知量，则等式 （1） （其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。 定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。 命题 次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。 命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式 ， ， 如果存在整整数,,及个不同的复数，使得 ， 则。 1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设，其中。设的复根为（可能有重复），则 所以 ； ； 我们记 ； ； ； （称为的初等对称多项式）。于是有 定理2.5 (韦达定理) 设，其中。设的复根为。则 ； ； 命题 给定R上次方程 ， ， 如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。 证明 由已知， . 两边取复共轭，又由于R，所以 . 推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。 第一学期第三次课 §3线性方程组 1.3.1数域K上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的Gauss消元法。 定义（线性方程组的初等变换） 数域上的线性方程组的如下三种变换 （1） 互换两个方程的位置； （2） 把某一个方程两边同乘数域内一个非零元素； （3） 把某一个方程加上另一个方程的倍，这里 的每一种都称为线性方程组的初等变换。 容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为 （*） 经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）的解也是（*）的解即可。 设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对