《10、立体几何线面位置关系的判定与证明.docVIP

第10讲　立体几何线面位置关系的判定与证明 一、考点要点 线面的平行与垂直的判定和性质： 平行 垂直 直线a 与 直线b （1）同平行于直线c的两直线平行 （2）?∩? = b，a∥?，a?? ? a∥b （3）?∩? = b，a∥?，a∥? ? a∥b （4）a⊥?，b⊥? ? a∥b （5）两平行平面都和第三个平面相交，则交线平行 （1）a⊥b，b∥c ? a⊥c （2）a⊥?，b?? ? a⊥b （3）三垂线定理、逆定理 （4）a∥?，b⊥? ? a⊥b 直线a（b）与平面 ?（?、γ） （1）a??，b??，a∥b ? a∥? （2）?∥?，a?? ? a∥? （3）a??，a⊥?，?⊥? ? a∥? （1）m、n??，m∩n=B，a⊥m，a⊥n ? a⊥? （2）a∥b，b⊥? ? a⊥? （3）?∥?，a⊥? ? a⊥? （4）?⊥?，?∩? = b，a?，a⊥b ? a⊥? （5）?⊥?，?⊥γ，?∩? = a ? a⊥? 平面?与 平面? （1）若? 内的两条相交直线a、b都平行于?，则?∥? （2）?⊥a，?⊥a ? ?∥? （3）平行于同一平面的两平面平行 （1）l⊥?，l?? ? ?⊥? （2）?∥?，?⊥? ? ?⊥? 根据上述线面的平行与垂直的判定和性质，可知：“线线平行 线面平行 面面平行”，“线线垂直 线面垂直 面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙． 若是单纯的判断题，通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决；若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）；若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小． 二、典型例题 例1 （1）（2013·广东）设m，n是两条不同的直线，?，? 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）．D （用长方体模型思考判断） A．若?⊥?，m??，n??，则m⊥n B．若?∥?，m??，n??，则m∥n C．若m⊥n，m??，n??，则?⊥? D．若m⊥?，m∥n，n∥?，则?⊥? （2）（2013·新课标）已知m，n为异面直线，m⊥平面?，n⊥平面?．直线l满足l⊥m，l⊥n，l??，l??，则（　　）． D A．?∥?，且l∥? B．?⊥?，且l⊥? C．? 与? 相交，且交线垂直于l D．? 与? 相交，且交线平行于l 例2 （2008·重庆）如图，在△ABC中，B = 90?，AC = 7.5， D、E两点分别在AB、AC上，使AD:DB = AE:EC = 2，DE = 3． 现将△ABC沿DE折成直二角角，求： （1）异面直线AD与BC的距离； （2）二面角A－EC－B的大小（用反三角函数表示）． 分析 （1）因为与AD、BC既垂直又相交的直线是异面直线AD与BC的公垂线，两交点间的线段长是其距离，所以图文结合，仔细领会题意，不难发现BD就是异面直线AD与BC的距离． （2）在折叠后的图中，由于AD⊥底面DBCE，所以利用三垂线定理或逆定理作出二面角A－EC－B的平面角，然后加以论证和计算． 解 （1）∵ AD:DB = AE:EC，∴ BE∥BC．又因B = 90?，∴ AD⊥DE． 因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB． 注意到DB⊥BC，所以DB为异面直线AD与BC的公垂线． 如图，由AD:DB = AE:EC = 2，得 DE:BC = AD:AB = 2:3． 又DE = 3，∴ BC = 4.5，AB2 = AC2－BC2 = 36． 进而 BD = 2，即异面直线AD与BC的距离为2． （2）如图，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连结AF．由（1）知， AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A－EC－B的平面角． 在底面DBCE中，∠DEF =∠BCE，BD = 2，CE = 2.5， 得，从而在Rt△DFE中，DE = 3，DF = DE·sin∠DEF = DE·sin∠BCE = 2.4． 在Rt△AFD中，AD = 4，，因此所求二面角A－EC－B的大小为． 说明：1．现行教材及考纲中对异面直线的距离要求较低，在图中往往有现成的距离（不需要另作），只要根据题意加以说明（证明）它满足异面直线的