《11第2章§11.2椭圆的简单性质.docVIP

第二章　§1 1.2 一、选择题 1．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　) A．1 B. C. D. [答案]　B [解析]　由题意得a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m， 又＝，∴＝，∴m＝. 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为(　　) A．5,3， B．10,6， C．5,3， D．10,6， [答案]　B [解析]　椭圆25x2＋9y2＝225化为标准方程为＋＝1，∴a2＝25，b2＝9， ∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝，故选B. 3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　由题意得a＝2c，∴离心率e＝＝. 4．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　) A．8,6　　　　　　　 B．4,3 C．2， D．4,2 [答案]　B [解析]　　椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是. ∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为＝＝3， 故选B. 5．椭圆＋＝1与＋＝1(0k9)的关系为(　　) A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．x，y有相同的取值范围 [答案]　B [解析]　∵0k9，∴09－k9,1625－k25， ∴25－k－9＋k＝16， 故两椭圆有相等的焦距． 6．椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [答案]　A [解析]　由题意得c＝2，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为＋＝1. 二、填空题 7．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为________． [答案]　 [解析]　如图，由已知得b＝c＝a， ∴e＝＝. 8．若椭圆两焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程为________． [答案]　＋＝1 [解析]　∵焦点为(－4,0)，∴c＝4，且焦点在x轴上又最大面积为bc＝12，∴b＝3，∴a2＝16＋9＝25， ∴椭圆方程为＋＝1. 9．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…P7，七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝____________. [答案]　35 [解析]　根据对称性|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F| ＝×7×2a＝×7×10＝35. 三、解答题 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长为6，两个焦点间的距离为8； (2)两个顶点分别是(－7,0)，(7,0)，椭圆过点A(1,1)； (3)两焦点间的距离为8，两个顶点分别是(－6,0)，(6,0)． [答案]　(1)＋＝1或＋＝1　(2)＋＝1　(3)＋＝1或＋＝1 [解析]　(1)由题意得b＝3，c＝4， ∴a2＝b2＋c2＝9＋16＝25 ∵焦点位置不定，所以存在两种情况． ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)当焦点在x轴上时， ∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)，∴a＝7. ∴方程可设为＋＝1，又过点(1,1)， 代入可得b2＝，∴椭圆方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)， ∴b＝7. ∴椭圆方程可设为＋＝1，又过点(1,1)，代入可得 a2＝，这与a2b2矛盾，∴不符合题意． 综上可知，椭圆方程为＋＝1. (3)∵2c＝8，∴c＝4，当焦点在x轴上时，因为椭圆顶点为(6,0)，∴a＝6，∴b2＝36－16＝20， ∴椭圆方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，因为顶点为(6,0)，∴b＝6. ∴a2＝36＋16＝52，∴椭圆方程为＋＝1. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 一、选择题 11．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为(　　) A. B．3 C. D. [答案]　D [解析]　a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝. ∵△PF1F2为直角三角形．且b＝3＝c. ∴F1或F2为直角三角形的直角顶点， ∴点P的横坐标为±， 设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝. 12．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1