《11第2章§33.2双曲线的简单性质.docVIP

第二章　§3 3.2 一、选择题 1．(2013·福建文，3)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　) A. B. C．1 D. [答案]　B [解析]　双曲线x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝. 2．(2013·北京理，6)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [答案]　B [解析]　本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质． 因为离心率e＝，所以c＝a，即b＝a，由双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x.选B. 3．(2014·河北唐山市一模)双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为， 则a＋b＝ (　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 [答案]　A [解析]　＝，∴|a－b|＝2， ∵双曲线左支在直线y＝x上方， ∵ab，∴a－b＝－2，又∵a2－b2＝4，∴a＋b＝－2. 4．(2014·山西大学附中月考)双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么(　　) A．a2＋b2＝m2 B．a2＋b2m2 C．a2＋b2m2 D．a＋b＝m [答案]　A [解析]　双曲线离心率e1＝， 椭圆离心率e2＝， 由e1·e2＝1得＝1， 化简得a2＋b2＝m2. 5．已知双曲线－＝1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝(　　) A．－12　　 B．－2 C．0 D.4 [答案]　C [解析]　本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)， 又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1， ∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C. 6．已知F1、F2是双曲线－＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　) A．4＋2 B.－1 C. D.＋1 [答案]　D [解析]　设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c. 由双曲线的定义知：(－1)c＝2a， ∴e＝＝＋1. 二、填空题 7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________． [答案]　－＝1 [解析]　本题考查双曲线的标准方程． 令x＝0，则y2－4y＋8＝0无解． 令y＝0，则x2－6x＋8＝0，∴x＝4或2. ∴圆C与x轴的交点坐标为(4,0)和(2,0)， 故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0)， 故双曲线的标准方程为－＝1. 8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________． [答案]　(－12,0) [解析]　∵b0，∴离心率e＝∈(1,2)， ∴－12b0. 9．(2013·泗阳县模拟)两个正数a、b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率为________． [答案]　 [解析]　∵两个正数a、b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b， ∴解得a＝5，b＝4， ∴双曲线方程为－＝1，∴c＝＝， ∴双曲线－＝1的离心率e＝＝. 三、解答题 10．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程； (2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程． [答案]　(1)－y2＝1　(2)－＝1或－＝1 [解析]　(1)设双曲线的方程为－＝1(4λ9)，则 a2＝9－λ，b2＝λ－4， ∴c2＝a2＋b2＝5， ∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为－y2＝1. (2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a0，b0)或－＝1(a0，b0)． 由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 一、选择题 11．已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2　　　 B．4 C．6 D.8 [答案]　B [解析]　该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力． 在△F1PF2中，由余弦定理得， cos60°＝ ＝ ＝＋1＝＋1， 故|PF1|·|PF2|＝4. 12．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1