《12.3角的平分线的性质.docVIP

12.3 角平分线的性质 回顾 1.从一个角的顶点出发，把这个角分成 完全相等 的两个角的 射线 ，叫做这个 角的平分线. 2.直线 外 一点到这条直线的 垂线 ，叫做点到直线的距离. 思考： 1、右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角的平分线．你能说明它的道理吗？ 2、（1）用直尺和圆规作出AOB的平分线OC. （2）射线OC为什么是AOB的平分线？ （3）在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.通过以上的测量，你发现了角的平分线的什么性质? 【知识点一】 角平分线的画法 一、作法： 1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N． 2.分别以点M，N为圆心，以大于 1／2 MN的长度为半径画弧，两弧交于点P 3.作射线OP，则射线OP为角AOB的角平分线 二、注意事项： 1.角的平分线的画法的依据是 三角形全等的判定定理---SSS 。 2.过两点作射线时，不能简单叙述为连接两点。连接两点构成的是线段，角平分线是射线，而不是线段。 ※【知识点二】 角平分线的性质 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.运用时要注意： ①点要在角的平分线上; ②点到角两边的距离是指这点到角两边的 垂线段 的长度，而不是与任意点连线的长度。 ③解决有关角的平分线的问题时常做的辅助线是过角平分线上的点做叫两边的垂线段. 练习 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E， DE=3cm，BC=7cm，则BD的长为 . 2.如图，BE是∠ABC的平分线，DE⊥AB于D，S△ABC =90cm2 ， AB=18cm,BC=12cm，则DE= . 3.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC， 求证：BE＝CF。 5.如图,BD为∠ABC的平分线,AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D. 求证：PM＝PN。 6.如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB 的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上 滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，试猜想PC和PD有怎样的数量关系，并证明你的猜想. 【知识点三】角平分线的判定 思考：如图，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 如果OD=OE，那么点O在∠BOC的平分线上吗？为什么？ 你能得出什么结论? 1.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 2.注意：见到角平分线，就要联想作垂线；反过来，见到某点到角两边的垂线段，就要联想到角平分线。 【知识点四】三角形中三条角平分线的性质 思考：如图△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. （1）求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 点P在∠A的平分线上吗?为什么? 由问题(1)和(2),你能得出三角形的三条角平分线有什么性质呢? (4)在证明过程中怎样添加辅助线,它的作用是什么? 3.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BP与∠ACB的外角平分线CP相交于点P. （1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等吗?为什么?． 由问题（1）你能得到什么结论？到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等的点有几个? 三角形的三条角平分线的性质：三角形的三个内角平分线相较于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。 ※推广：三角形两个外角的平分线也相较于一点，这点到三边所在直线的距离相等；由于三角形的外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个。 练习 1.如图1，下列推理： ①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE； ②因为点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD=PE，所以OC平分∠AOB； ③因为点P在OC上，PD=PE，所以OC平分∠AOB； ④因为点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且OC平分∠AOB，所以PD=PE. 其中正确的推理是 .（填序号） 2.如图2，PA⊥ON于A点，PB⊥OM于B点，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°， 则∠PCA= . 3.如图3，△ABC中，∠ABC=100°，∠C=50°，且DE⊥AB于E点，DF⊥A