《12.4椭圆的性质.docVIP

12．4 椭圆的性质 例1 已知椭圆的方程为. 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标; 写出与椭圆有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. [说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用. 例2（1）求以原点为中心，一个焦点为且长轴长是短轴长的倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆标准方程. 解：（1）由题意可知：，由，有，，; 椭圆的标准方程为：. （2）或 [说明] 此题利用椭圆标准方程中的关系来解题，要注意焦点在轴上或轴上的椭圆标准方程. 例3已知直线与椭圆，当在何范围取值时， 直线与椭圆有两个公共点； 直线与椭圆有一个公共点； 直线与椭圆无公共点. 解：由可得 ； （1）当时，直线与椭圆有两个公共点； （2）当时，直线与椭圆有一个公共点； （3）当时，直线与椭圆无公共点. [说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法. 例4若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围. 解法一： 由可得，即 . 解法二：直线恒过一定点 当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即 综述： 解法三：直线恒过一定点 要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即 [说明]法一转化为的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则. 例5 椭圆中心在原点，长轴长为10，一个焦点的坐标，求经过此椭圆内的一点，且被点平分的弦所在的直线方程. 解：由已知，，且焦点在轴上，，椭圆方程为.设过点的直线交椭圆于点、.是弦的中点，则，将两点的坐标代入椭圆方程，，两式相减整理得：，即. 所求的直线方程为，即. [说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1）斜率是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？ 例6 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积 解法一：由题可知：直线方程为 由,可得， , 解法二：到直线AB的距离, 由可得，又, . [说明] 在利用弦长公式（k为直线斜率）应结合韦达定理解决问题. 例7 已知直线交椭圆于两点，，，求椭圆方程. 解：为简便运算，设椭圆为， ，，整理得： （1） ，，设、， ，，即，有. 方程（1）变形为：.. ，，有，得：， 椭圆的方程为或. [说明] 应注意两点设而不求，善于使用韦达定理. 例8、已知椭圆的方程 (1)求斜率为2的平行直线截椭圆所得弦的中点的轨迹。 (2)过点P（2，1）作直线与椭圆相交，求截得弦的中点轨迹方程。 (3)过点且被点Q平分的弦所在的直线方程。 解：方法一（1） 中点的轨迹方程x+4y=0 即所得弦的中点的轨迹方程为x+4y=0在椭圆内的部分。 [说明]消参法 方法二（点差法）设弦两交点为、，中点为M(X,Y) (1) 斜率为2即=2= 即所得弦的中点的轨迹方程为x+4y=0在椭圆内的部分。 (2) 过点P（2，1）即= 即所得弦的中点的轨迹方程为x2-2x+2y2-2y=0在椭圆内的部分。 (3) 过点且被点Q平分即= 即过点且被点Q平分的弦所在的直线方程为。 [说明]如（3）中点改为（2，1）可以发现用点差法可以求得直线方程， 而显然（2，1）点在椭圆外此直线是不存在的。 原因就在于.点差法需注意两点：1）是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？