第三章第五节_曲线的凸性与拐点.ppt

一、曲线的凹凸性与拐点 二、 凹凸判定 例2. 求曲线 例: 求曲线的斜渐进线: 例: 求曲线的斜渐进线: 练习: 求曲线的斜渐进线: 小节 作业 P144 1（单）, 2 (1) (2) 了解边际、弹性、需求弹性的概念和经济意义； 会求相关变化率 重点: 相关变化率 难点: 弹性的概念 * * 一、曲线凹凸性的定义 二、曲线凹凸性的判定 §3.5 曲线的凸性与拐点 三、曲线的渐近线 四、函数图形的描绘 曲线凹凸性的概念; 掌握用导数研究函数图像的凹凸性、拐点的方法； 会求曲线的渐近线 会做函数图形 重点: 用导数研究函数图像的凹凸性、拐点; 曲线的渐近线 §3.5 曲线的凸性与拐点 难点: 函数作图 1定义1 . 设函数 是区间 (a,b) 上可微 函数,如果 位于此曲线每一点切线的上 方， 在区间(a,b)内是凹的。 (下) （凸的） 向下凸的 向上凸的 凹的 凸的 一、曲线的凹凸性与拐点 则称曲线 曲线 1定义2 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的----向下凸的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凸 性的分界点称为拐点 . 图形是凸的----向上凸的. (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹（向下凸）的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸（向上凸）的 . 在区间I 上连续,在I内二阶可导 例1. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向下凸的. 定理 ( 用二阶导数判定函数的凸性 ) 分析：由凹的定义，切线位于曲线下方 凹 凸 充分性 所以， f(x)在[a, b]上是凹的。 拐点定义 定理(拐点必要条件) 定理(拐点的充分条件) [证] 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 3) 根据拐点的定义及上述定理, 得拐点的判别法: 若 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 2) 二阶导数不存在的点也可能是拐点. 凸性区间与拐点. 解: 0 曲线 凹区间为 : 凸 凹 × 凹 拐点 凸区间为 : 拐点为: 两区间不 要合并!!! 练习1 解 凹 凸 凹 拐点 拐点 注: 此页备用 解 注: 此页备用 练习2 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 斜渐近线 斜渐近线 若 三、水平与垂直渐近线，斜渐近线 补充: 斜渐近线公式的推导过程 解: 所以曲线的斜渐进线方程式是: 另解: 用斜渐进线的定义: 因为 而 所以曲线的斜渐进线方程式是: 曲线的斜渐 进线方程式是: 注: 此页备用 四、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 第三步 第四步 确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势; 第五步 四、图形描绘的步骤 例6. 描绘函数 解: 1) 定义域为 图形对称于 y 轴. 2) 3) (极大) (拐点) 为水平渐近线 5) 作图 4) 求渐近线 经计算知此曲线不存在垂直和斜渐近线. 例4.描绘函数 解 非奇非偶函数,且无对称性. 的图形. 间断点,一阶二阶导数不存在的点: x=0 3).列表 不存在 拐点 极值点 间断点 4) 求渐近线 经计算知此曲线不存在斜渐近线. 补充点: (-2,-3) 5)作图： 一、曲线凹凸性的定义 二、曲线凹凸性的判定 三、曲线的渐近线 四、函数图形的描绘 §3.6 边际弹性与相关变化率