第九章6节.pptVIP

§9．6 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 *成都理工大学工程技术学院 成都理工大学工程技术学院 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 ? 的参数方程: ? 的向量方程 对? 上的动点M , 即? 是 此方程确定映射 ,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念. 定义: 给定数集 D ? R , 称映射 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 自变量 因变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 极限： 连续： 导数： 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 向量值函数的导数运算法则: (P91) 设 是可导向量值函数, 是可导函数, 则 C 是常向量, c 是任一常数, 向量值函数导数的几何意义: 在 R3中, 设 的终端曲线为? , 切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停 表示终端曲线在t0处的 切向量, 其指向与t 的增长方 向一致. , 则 设 向量值函数导数的物理意义: 设 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 例1. 设 速度向量： 加速度向量： 解： 例2. 设空间曲线? 的向量方程为 求曲线? 上对应于 解: 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 = 6 二、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 给定光滑曲线 ? 在 点法式可建立曲线的法平面方程 利用 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 点向式可建立曲线的切线方程 1. 曲线方程为参数方程的情况 因此曲线 ? 在点 M 处的 则? 在点M 的导向量为 法平面方程 给定光滑曲线 为0, 切线方程 例4. 求曲线 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： 点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 因此所求切线方程为 法平面方程为 即 思考: 光滑曲线 的切向量有何特点? 答: 切向量 三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 ? 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 ? 在该点的切平面. ? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 曲面 ? 在点 M 的法向量: 法线方程 切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 ? 在点 M 的法线. 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 在点 有连续偏导数时, 切平面方程 法向量 法向量 用 将 法向量的方向余弦： 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, *成都理工大学工程技术学院 成都理工大学工程技术学院