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第五章 空间解析几何 前言 5.1 空间直角坐标系 5.2 向量代数 5.3平面与空间直线 5.4 空间曲面与空间曲线 5.5 二次曲面 前言 同平面解析几何一样,空间解析几何就是通过建立空间直角坐标系,使空间的点与三元有序实数组之间建立起一一对应的关系,并将空间图形与三元方程联系在一起,从而达到用代数方法研究空间几何的目的.因此,空间解析几何的内容也是很重要的,它是学习多元函数微积分的基础. 5.1 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 5.2 向量代数 为了讨论空间中平面与直线，这里还要介绍一些向量代数的内容： 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、向量的坐标表示 四、向量的模与方向余弦的坐标表示 五、向量的标量积 六、向量的向量积 一、向量的概念 二、向量的线性运算 1.向量的加法 5.3平面与空间直线 一、平面 1. 平面的点法式方程 二、空间直线 1.空间直线的一般方程 2.空间直线的点法式方程和参数方程 5.4空间曲面与空间直线 一、空间曲面 1.空间曲面方程的概念 二、空间曲线 1.空间曲线的一般方程 5.5二次曲面 一、椭球面 方程（9）称为直线的参数方程. 例7 求过点M0(-1,0,2),且垂直于平面x-y+3x+1=0的直线方程. 解 所求直线垂直于已知平面，所以平面的法向量n={1,-1,3}可以作为直线的方向向量s，即s=n={1,-1,3},由直线的点向式方程得 例8 解 直线与平面的相互关系及直线间的相互关系由直线的方向向量与平面的法向量之间的关系及两直线的方向向量之间的关系来决定. 空间直线与平面的夹角是指直线的方向向量与平面的法向量的夹角(通常指锐角)的余角.两直线的夹角是指两直线的方向向量的夹角(通常指锐角). 由直线与平面的夹角和两直线的夹角的定义及两向量垂直、平行的条件可得下面结论： 例9 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线方程. 解 因为所求直线垂直于已知平面，所以平面的法向量n={2,-3,1}就可取作直线的方向向量.故所求直线方程为 在空间直角坐标系中，如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0………………(1) 有如下关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(1); (2)不在曲面S上的点的坐标不满足方程(1) 则称方程(1) 为曲面S的方程，而曲面S为方程(1)的图形. 下面介绍几个常见的曲面. 2.球面 这就是曲面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.因此方程(2)就是以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程(spherical equation). 如果球心在原点，则x0=y0=z0=0,曲面方程为 x2+y2+z2=R2 若将(2)式展开，则得 x2+y2+z2-2x0x-2y0y-2z0z+ x02+y02+z02=R2 关于x、y、z的二次方程，它的缺点是缺xy、yz、zx项，且平方项的系数相等.反之，具有上述特点的二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+ G=0…………(3) 若经过配方可以化成方程(2)的形式，那么它的图形就是一个球面. 例如 x2+y2+z2 - 2 x+4y=0 经过配方后，可化为(x-1)2+(y+2)2+z2=5, 与(2)式比较知它表示球心在点M0(1,-2,0),半径为√5的球面. 3.旋转曲面 给定一条平面曲线C，它绕该平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面(surface of revolution).其中平面曲线C称为该旋转曲面的母线(generating line)，定直线L称为该旋转曲面的轴(axis). 设在yOz坐标面上有一已知曲线C，其方程为