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第六章微分中值定理及其应用.doc
第六章 微分中值定理及其应用
P.127 习题
1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使:
(1), (2)
解 (1)因为在连续,在可导,且,所以由Rolle定理,,使得。
(2)因为,且不存在,故不存在一点,使
2.证明:(1)方程(这里c为常数)在区间内不可能有两个不同的实根;
证明 设,由于方程在内没有根,所以(由P.120,例1)方程在区间内不可能有两个不同的实根。
(2)方程(n为正整数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根。
证明 设,于是。当n为偶数时,n-1为奇数,故方程至多有一个实根(因为幂函数严格递增),从而方程至多有两个实根;
当n为奇数时,n-1为偶数,故由上述证明的关于偶数的结论有:方程至多有两个实根,从而方程当n为奇数时至多有三个实根。
3.证明:若函数和均在区间上可导,且,,则在区间上和只相差一常数,即(c为某一常数)
证明 令,则在区间上可导,且,由推论1,存在常数c,使得,即
4.证明 (1)若函数在上可导,且,则
(2)若函数在上可导,且,则
(3)对任意实数,都有
证明 因为在上可导,所以在上满足Lagrange中值定理的条件,于是,使得
(1)因为,所以,从而有
(2)因为,所以
(3)不妨设,正弦函数在上连续,在可导,于是,使得
5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
(1),其中
证明 设,则在上连续且可导,所以在上满足Lagrange中值定理的条件,于是,使得,因为,所以,从而
(2),其中
证明 设,则在上满足Lagrange中值定理的条件,于是,使得。因为
,所以,从而。
6.确定下列函数的单调区间:
(1) (2)
(3) (4)
解 (1),令,得
当时,,递增;当时,,递减。
(2)的定义域为。,令,得
当时,,递减;当时,,递增。
(3)的定义域为。,令,得
当时,,递增;当时,,递减。
(4)的定义域为。,故在其定义域
递增。
7.应用函数的单调性证明下列不等式:
(1),
证明 设,则在连续,且。因为
,,故在严格单调递增,又因在连续,于是,从而,。
(2),
证明 先证,为此证明:。设,则在连续,且。因为,。所以在严格单调递减,于是,从而,。
其次证明:。设,则在连续,且。因为,。所以在严格单调递增,又因在连续,于是,从而,。
(3),
证明 先证:,。令,则在连续,且。因为,。所以在严格单调递减,又因在连续,于是,从而,。
其次证明:,。令,则在连续,且。因为,。所以在严格单调递增,又因在连续,于是,从而,。
8.以记由, , 三点组成的三角形面积, 试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.
证明 因为, 若在连续, 在可导, 则易见也在连续, 在可导, 且. 故由罗尔定理知, 存在, 使得. 而
, 故
.
P.136习题
1.试问函数在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么?
解 因为,故当时,,不满足柯西中值定理的条件,所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。
2.设函数在上可导,证明:存在,使得
证明 设,则在上连续并可导,且,由Rolle定理,存在,使得,从而
3.设函数在点处具有连续的二阶导数。证明:
证明 因为在点处具有连续的二阶导数,所以在点的某邻域内具有一阶导数,于是由洛必达法则,分子分母分别对求导,有
4.设。证明存在,使得
证明 设,,则都在连续,在可导,且都不等于0,。由柯西中值定理,存在,使得,即
5.求下列不定式极限
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解
所以
(8)
解 因为,所以
(9)
解 因为
所以
(10)
(11)
(12)
所以
P.145 习题
1.求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式
(1)
解 ,,
,……,
麦克劳林公式为:
(2)到含有的项
解 因为,,所以。在此式的两端,用莱布尼兹公式,分别对求阶导数,得
令得递推公式:
因为有,于是,。
又因为,,所以当为偶数时,
从而
(3)到含有的项
解 ,
,
,
,
,
2.按例4的方法求下列极限
(1)
(2)
(3)
3.求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式:
(1),在处;
解 ;,;,;
,;。所以
(2),在处
解 ;,;
,。所以
,
P.150习题
1.求下列函数的极值
(1)
解 ,令得稳定点。列表讨论:
0 + 0 + 0 - ↗ 无极值 ↗ 极大值为 ↘ (2)
解 ,令得稳定点。列表讨论:
-1 1 - 0 + 0 - ↘ 极小值为-1 ↗ 极大值为1
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