函数对称性问题函数对称性问题.doc

简析函数对称性问题 函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。 命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线对称。 特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。 推论1、 函数与函数的图象关于直线对称 证明：, 所以 ，将函数的图象向左平移个单位得的图象;将函数的图象向右平移个单位得函数的图象,而与的图象关于 y轴对称，可得两函数图象关于直线 对称。记忆技巧：令 ，易得，即对称轴方程。 命题2、 若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线 对称。反之亦然。 推论2、 若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。反之亦然。 命题3、 若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。 下面举例说明其应用。 [例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称 解：由命题1知，两函数图象关于, 即关于直线x=1对称。 [例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0 有_____个根，两方程的所有的根之和为______ 解：设,由推广1知，两函数图象关于对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为. [例3] 函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x) 若方程f(x)=0恰有2n()个根，则这些根的和为多少？ 若方程恰2n+1()个根，则这些根的和为多少？ 解：由命题2知，y=f(x)图象关于对称。 若方程f(x)=0恰有2n个根时，由于方程的根在x轴上对应点关于对称，所以，,故. 若方程f(x)=0恰有2n+1个根时，则方程必有一根为 ，另外2n个根在x轴上对应点关于 对称，故. [例4]函数，（1）证明函数的图象关于(-1,-1)对称。（2）求f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值. 解： 因为，由的对称中心（0，0），平移可得 对称中心(-1,-1)，由命题3知，f(x)+f(-x-2)=-2 , 则 f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)=. 补充，供参考 1、函数自身对称性 命题1 函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是或。证明（略） 推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是。 命题2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是 证明（略） 推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是 偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。 命题3 （1）若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 证明：函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则，，所以 ，所以是它的一个周期。 （2）、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。 证：因为函数的对称轴为x=m，x=n (m≠n)， 则 (1) ， (2) ， 分别将x=m-x，x=n-x代入(1) (2)， 则有 ， ，则 ， 所以是周期函数，周期为2(m-n)。 （3）若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 证明：因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称， 所以代得： 又因为函数的图像关于直线成轴对称，所以代入（*）得： 得 代入（**）得： 是周期函数，且是其一个周期。 2. 不同函数对称性 命题4 函数的图像关于点成中心对称。 证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。 同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。 推论 函数与的图像关于原点成中心对称。 命题5 函数与的图像关于直线成轴对称。 证明 设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。 同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。 推论 函数与的图像关于直线y轴对称。 命题6 ①函数与的图像关于直线成轴对称。 ②函数与的图像关于直线成轴对称。 现证命题6中的② 设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以代入之中得。所以点在函数的图像上。 同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故命题6