分块矩阵和矩阵分解在论文三稿分块矩阵和矩阵分解在论文三稿.doc

　 　　　　JISHOU　UNIVERSITY 本科生毕业论文 题 目： 分块矩阵和矩阵分解在 行列式计算中的应用 作 者： 学 号： 20084041006 所属学院： 专业年级： 指导教师： 职 称： 副教授 完成时间： 2012年5月15日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的是本人在的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。签名： 日期：年月日(必威体育官网网址的学位论文在解密后应遵守此协议) 论文题目： 分块矩阵和矩阵分解在行列式计算中的应用 学生签名： 日期 年 月 日 导师签名： 日期 年 月 日 目 录 1 引言 1 2 主要方法的证明及应用 2 2.1 分块矩阵的行列式 2 2.2 矩阵乘积的行列式 7  分块矩阵和矩阵分解在行列式计算中的应用 杨三毛 (吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000) 摘 要：主要研究了分块矩阵以及矩阵的乘积在行列式计算中的应用。利用分块矩阵及矩阵乘积的行列式公式，也能较为简捷地求出某些行列式的值。 关键词：分块矩阵；矩阵乘积的行列式；行列式 The application of block matrix and matrix decomposition Yang Sanmao (College of Mathematics and Statistics Science,Jishou Univ,Jishou Hunan,416000) Abstract: The research focus on the usage of block matrix and the multiplication of matrix in calculating the determinant.Application of block matrix and the determinant of matrix product form,can be convenient to calculate some of value of determinant. Key words: block matrix; the determinant of matrix multiplication; determinant 1 引言 先介绍了相关的研究问题及国内外人士对本课题做的一些研究；再分别对问题进行研究讨论：对分块矩阵的行列式进行研究.通过定理以及实际例题对此方法进行研究.关于行列式的计算有很多种方法，比如可以通过对其进行初等变换化为三角行列式进行计算，也可以通过寻找递推关系进行计算.而利用分块矩阵及矩阵乘积的行列式公式，也能较为简捷地求出某些行列式的值. 2 主要方法的证明及应用 2.1 分块矩阵的行列式 引理1 若,这里A，均为方阵，则； 又若，也有. 定理1 设是n阶方阵，其中A,B,C,D分别为 阶矩阵， 若A可逆，则； 若D可逆，则. 证明 （1）若A可逆，利用分块矩阵的乘法有 ， 由于 ，故两边取行列式，得， 即. （2）若D可逆，利用分块矩阵的乘法有 由于，故两边取行列式，得， 即. 定理的结论对于部分n阶行列式的计算是非常有用的. 例1 计算2n阶行列式的值，其中 . 解：令=D,,则，从而可逆，且 ， 所以 = =. 例2 计算，其中. 解：首先对P进行分块，令则，即D是可逆的，且 所以 . 例3 计算，其中. 解：令 则有，也就是说A可逆，且 所以 . 例4 设计算. 解：对进行适当变形，将添加一行一列，其值不变，得 令， 则，即D可逆，且（其中表示D的伴随阵）. 设为中元素在中的代数余子式，则 特别地，当时，. 例5 证明：如果是正定二次型，那么 是负定二次型. 证明：设正定二次型的矩阵为A, 则A为实对称矩阵，于是存在可