分析力学复习与例题 殷德京分析力学复习与例题 殷德京.ppt

* * 分析力学复习与习题课 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有 主动力 约束力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 系统的总虚功为 §5.3.1 动力学普遍方程 —— 动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。 1 动力学普遍方程 动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。 ?动力学普遍方程 主要应用于已知主动力求系统的运动规律。 ? 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 ? 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 ? 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 动力学普遍方程的应用 例 题 1 已知： m ，R, f ， ? 。 求：圆盘纯滚时质心的加速度。 φ C mg ? aC FIR MIC ?x 解：1、分析运动，施加惯性力 2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 ?x。 3、应用动力学普遍方程 其中： ? B A C 例 题 2 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ?－ O1 y1轴的旋转角速度。 求： ?－ ? 的关系。 l l l l ? ? O1 x1 y1 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = ? 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 FIB FIA m1g m2g m1g ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g ?rC ?? ?rB ?rA 2、令系统有一虚位移??。A、B、C 三处的虚位移分别为?rA、?rB、 ?rC 。 3、应用动力学普遍方程 根据几何关系，有 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g ?rC ?? ?rB ?rA 3、应用动力学普遍方程 x O y C2 D 求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 C1 A C B ? 例题3 质量为m1的三棱柱ABC 通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为?2。 a1 ae ar ?2 x O y C2 D C1 A C B ? a1 ?2 m1g m2 g FI1 FI 2 e FI 2 r MI2 ae ar 解：2、施加惯性力 解：3、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。 第一组 第二组 二自由度系统具有两组虚 位移： ?x ?? x O y C2 D C1 A C B ? m1g m2 g FI1 FI 2 e FI 2 r MI2 ?? 解：4、应用动力学普遍方程 令： x O y C2 D C1 A C B ? m1g m2 g FI1 FI 2 e FI 2 r MI2 解：4、应用动力学普遍方程 令： ?x 解：5、求解联立方程 此即拉格朗日方程 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力 2 拉格朗日(Lagrange)方程 引入拉格朗日函数 L＝T－V 得到主动力为有势力的拉格朗日方程 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力 对于只具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到 由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。 应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤： ? 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 ? 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 ? 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。 ? 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 拉格朗日方程的应用