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课题：双曲线的性质（一） 授课教师：余姚市职成教中心学校 周清可 [教学目标]： 知识目标：①使学生掌握双曲线的几何性质并会简单应用； ②使学生初步学会利用方程、函数研究双曲线几何性质的方法。 能力目标：培养学生数形结合，方程与函数结合的意识和能力，提高学生运用类比，归纳的方法构建新的数学知识的能力。 情感目标：运用现代多媒体教学手段，揭示“数”和“形”的内在联系，体会数与形的统一美，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神。 [教学重点、难点]： 本节课的重点是掌握双曲线的几何性质，并且会利用几何性质画出双曲线的图象，而其中“渐近线”是本节教学的重点兼难点，突破难点的教学关键是：充分利用《几何画板》直观演示“渐近线与双曲线的关系”，让学生对渐近线由“直觉猜想”→“直观感知”→“逻辑论证”，分别从数、形两方面出发，引导学生逐步认识渐近线。 [学习任务归类]： 本节课，要努力教给学生的主要是：①温故而知新的学习习惯；②自学、交流、讨论的学习方法；③类比、猜想、归纳的学习品格。 [教学策略]：采用多媒体辅助教学。 [教学方法]：启发引导法，观察法，讨论法。 [教学过程]： 一、复习提问 （师生共同复习以下内容） 1）椭圆的几何性质 如图：请说出椭圆的性质。 (性质1)图形的范围：椭圆位于直线所围成的矩形里。 （性质2）对称性 对称轴：轴，轴；中心：原点。 （性质3）顶点坐标为：。 叫长轴长，叫短轴长，叫焦距； 叫长半轴长，叫短半轴长，叫半焦距。 （性质4） 离心率；的范围是。 2）双曲线的定义及标准方程。 双曲线的定义用式了表示 焦点在轴上的标准方程为 焦点在轴上的标准方程为 （设计意图：1）为了唤起学生对旧知识的记忆，并加深对学过知识的掌握；2）为了给本节课研究双曲线的几何性质作好知识和方法上的辅垫。） 二、引入课题 想一想：如何由方程来画双曲线？ 学生回答：通过列表，描点画出图象。 教师指出:通过列表，描点无法较准确地画出双曲线，引导学生回忆以前椭圆的图象是如何准确画出来的？ 师生共同回答：先研究椭圆的几何性质，然后根据性质并通过列表，描点画出椭圆的图象。 教师指出：因此要画出双曲线，应该先研究它有哪些性质和特点。 （设计意图：为学生指明学习方向，使学生认识到学习双曲线几何性质的必要性，并激发学生的求知欲。） 三、性质研究 由方程研究双曲线的几何性质。 双曲线的对称性、顶点、范围 双曲线的对称性： 点在双曲线上，则； 则，即点关于轴的对称点在双曲线上； 则，即点关于轴的对称点在双曲线上； 则，即点关于原点的对称点在双曲线上； 归纳总结：双曲线有两条互相垂直的对称轴：轴、轴。 双曲线有一个对称中心（简称中心）：原点。 提问：双曲线与其对称轴是否有交点？ 令，得无解 双曲线与轴没有交点． 　　　　令，得 　　双曲线与轴有两个交点 下面由学生自己阅读书本关于顶点、实轴、虚轴等概念。 （设计意图：将书本中关于双曲线的几何性质的研究次序作了适当的调整，把双曲线的“范围”移到“顶点”之后，“渐近线”之前，这样设计使教学内容衔接自然，可以非常自然的引出“渐近线”的教学。） ③图形的范围：把方程变形为 即 或 总结：双曲线位于直线的左侧及直线的右侧。 提问：根据以上三条性质，能较为准确地把双曲线画出来吗？ （先让学生自己动手画，然后派三个学生上台板演） 三个学生肯定会画出不同的开口度，从而教师 可向学生提出疑问：“两直线的外侧是 无限宽广的，那么双曲线的开口度是不是你想画多大 就多大呢？它没有限制吗？”这个时候学生觉得很有 必要来解决这个问题，从而引出“渐近线”的教学。 （设计意图：让三个学生到黑板上来画的目的是想揭露双曲线开口度的不一致，有大、有小，从而引导学生探索，双曲线特有的性质，为渐近线的教学作好辅垫。） 双曲线的渐近线。 引导学生画出反比例函数的图象。 这条双曲线的特点是：与轴、轴无限靠近，但永远 不会相交，我们称轴、轴是它的两条渐近线。 因此，同学们可以大胆猜测：今天所研究的双曲线或许也有两条渐近线，从而对方程下手进行研究，以为例。 第一步：将变形为，由于双曲线具有对称性，只要研究第一象况，即（）， 可以发现：在上是增函数，所以它是无限伸展的，那么它伸向何方呢？ 第二步：将作如下变形：。当取得很大很大时，接近于0,接近于，可见双曲线与这条直线有关。 （设计意图：借助于的图象，使学生大胆猜想双曲线的特有性质应该是有两条渐近线。设计第一步是让学生知道双曲线的无限伸展性；第二步是试找出与双曲线有密切联系的两条直线。） 第三步：利用多媒体几何动画演示当越来越大时，双曲线与直线无限的接近，为了证明“无限接近”进入第四步。 第四步：①联立方