資料参照5.docVIP

Ⅴ．選好の凸性 選好の凸性について説明する。 Ⅰ）A1 ～ A2 のとき 「無差別曲線上の」任意の２つの財の組合せである同梱同士、同梱A1=(x1, y1) と同梱A2=(x2, y2)に対して、任意のθ(0 θ 1)をとって、 θ A1 + ( 1 – θ) A2 = θ(x1, y1) + ( 1 - θ)(x2, y2) ≡ A3 の組合せを作る。ただし、U(x1, y1) = U(x2, y2) である。このとき、A3 A1、 A3 A2 が成り立つ。 【証明】 A3 = θ A1 + ( 1 – θ) A2 （ただし、θ(0 θ 1)）の 意味は、 A3 =θ A1 + ( 1 – θ) A2 =(θx1,θy1) + (( 1 – θ)x2, ( 1 – θ) y2) =(θx1 + ( 1 – θ)x2,θy1 + ( 1 – θ) y2) θが、(0 θ 1)の間の値をとるとき、A3は、A1とA2を結ぶ線分上を直線的に移動する。ここでA3の効用関数を考えてみる。 U(A3) = (θx1 + ( 1 – θ)x2) * (θy1+ ( 1 – θ) y2) = θ^2 *x1*y1 + θ* ( 1 – θ) x1*y2 + ( 1 – θ)*θ* x2* y1 + ( 1 – θ)^2* x2 * y2 他方、 U(A1) = x1 * y1 U(A2) = x2 * y2 但し、U(A1) = U(A2) = x1 * y1= x2 * y2 である。 従って、 U(A3) - U(A1) =θ^2 *x1*y1 + θ* ( 1 – θ) x1*y2 + ( 1 – θ)*θ*x2* y1 + ( 1 – θ)^2* x2 * y2 - x1 * y1 =(θ^2 – 1)* x1 * y1 +θ* ( 1 – θ)(x1*y2 + x2* y1) + ( 1 – θ)^2* x2 * y2 　　 =[(θ^2 – 1) + ( 1 – θ)^2] * x1 * y1+θ* ( 1 – θ)(x1*y2 + x2* y1) =　2θ(θ - 1) * x1 * y1 + θ* ( 1 – θ)(x1*y2 + x2* y1) = θ* ( 1 – θ) ( - 2 * x1 * y1 + x1*y2 + x2* y1) =θ* ( 1 – θ) ( - x1 * y1 – x2 * y2+ x1*y2 + x2* y1) = θ* ( 1 – θ) ( x1 *(y2 - y1) + x2 * (y1 - y2)) =θ* ( 1 – θ) * ( x1- x2) *(y2 - y1) 代替性の公準から、( x1- x2) *(y2 - y1) 0 であるから、U(A3) - U(A1) 0　である。 同様にして、 U(A3) - U(A2) =θ^2 *x1*y1 + θ* ( 1 – θ) x1*y2 + ( 1 – θ)*θ*x2* y1 + ( 1 – θ)^2* x2 * y2 – x2 * y2 =(θ^2 – 1)* x1 * y1 +θ* ( 1 – θ)(x1*y2 + x2* y1) + ( 1 – θ)^2* x2 * y2 　　 =[(θ^2 – 1) + ( 1 – θ)^2] * x1 * y1+θ* ( 1 – θ)(x1*y2 + x2* y1) =　2θ(θ - 1) * x1 * y1 + θ* ( 1 – θ)(x1*y2 + x2* y1) = θ* ( 1 – θ) ( - 2 * x1 * y1 + x1*y2 + x2* y1) =θ* ( 1 – θ) ( - x1 * y1 – x2 * y2+ x1*y2 + x2* y1) = θ* ( 1 – θ) ( x1 *(y2 - y1) + x2 * (y1 - y2)) =θ* ( 1 – θ) * ( x1- x2) *(y2 - y1) 同様の理由で、U(A3) - U(A2) 0　である。 纏めると、 無差別曲線上の任意の２つの財の組合せである同梱同士、同梱A1=(x1, y1) と同梱A2=(x2, y2)に対して、任意のθ(0 θ 1)をとって、 θ A1 + ( 1 – θ) A2 = θ(x1, y1) + ( 1 - θ)(x2, y2) ≡ A3 の組合せを作ると、A3 A1、 A3 A2 が成り立つ。 Ⅱ