利用高斯--波涅公式所能解决的问题利用高斯--波涅公式所能解决的问题.doc

高斯—波涅公式的应用 邢家省，王拥军 （北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191）: 高斯—波涅公式，高斯曲率，测地曲率 中图分类号: O186. 11 文献标识码: A The Application of the Gauss–Bonnet Formula Xing Jiasheng Wang Yongjun (Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China) Abstract: Using the Gauss–Bonnet theorem， we give a direct proof of some relevant results and listed some examples. Keywords: Gauss–Bonnet formula , Gauss curvature, geodesic curvature 高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理，它描述了曲面上多边形的内角和与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系.对该定理的证明和推广引起了人们持续不断的兴趣，定理结果的应用也被人们发掘出来.我们对常见的能解决的问题结果给出整理，给予直接的证明，列举了一些实例，丰富高斯—波涅公式的应用.微分几何中其它相关问题的研究可见文献[5-12]. 收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金资助项目， 北京航空航天大学教改项目基金资助 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,研究方向：偏微分方程、微分几何. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet公式的应用 设曲面 是类正则曲面. 曲面上的高斯曲率为，曲面上的曲线的测地曲率为，曲面上的面积微元为，曲线的弧长微分为.区域的边界记为. 定理1(Gauss-Bonnet 公式) 设区域是曲面上的一个单连通区域，如果是一条光滑曲线， 则有 ， （1） 推论1 设区域是曲面上的一个单连通区域，如果是一条光滑曲线，并且是曲面上的测地线，即曲线上的测地曲率， 则有 . 推论2 设曲面是一个单连通的封闭曲面，则有 . 证明 用一条光滑的封闭曲线把曲面分成两个部分和， 利用定理1，有 ， ， 由于和的定向相反，， 把上两式相加后，得到. 例1 设是半径为的球面，此时有， 自然成立 . 例2 设是椭球面 ，曲面上的高斯曲率为，求. 解 由于椭球面是一个封闭地曲面，利用推论2，则有 . 推论3 在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线. 证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线, 则的测地曲率, 设在曲面所围的区域为， 由Gauss-Bonnet 公式(1)，知，这与 上的高斯曲率 矛盾. 注 推论3 中必须要求所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率 )存在着一条光滑闭测地线, 即曲面上的最小纬圆. 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet公式的应用 定理2 (Gauss-Bonnet公式) 设是有向曲面上的一条由 段光滑的曲线组成的简单封闭曲线, 它由段光滑曲线 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处的外角为， 曲线所包围的区域是曲面上的一个单连通区域， 那么成立 ， , （2） 若用表示这些光滑曲线段在交接处的内角，则有 ， （3） 推论4 如果曲线 中每段光滑曲线 是测地线, 则在由测地线段所围成的单连通测地边形区域中, 成立如下公式 ； （4） 若用表示测地边形的外角 所对应的内角, 则有 ， （5 ） 例3 当曲面是平面时, 因为 , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公式. 如当 时就得到: 三角形三内角之和等于. 推论5 如果是曲面上