《2015步步高理科数学选修45.docVIP

选修4－5　不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 ab?________；a＝b?________；ab?________. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：如果ab，那么________；如果________，那么ab.即ab?________. (2)传递性：如果ab，bc，那么________． (3)可加性：如果ab，那么____________． (4)可乘性：如果ab，c0，那么________；如果ab，c0，那么________． (5)乘方：如果ab0，那么an________bn(n∈N，n1)． (6)开方：如果ab0，那么________(n∈N，n1)． 3．绝对值三角不等式 (1)性质1：|a＋b|≤________. (2)性质2：|a|－|b|≤________. 性质3：________≤|a－b|≤________. 4．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a |x|a (2)|ax＋b|≤c (c0)和|ax＋b|≥c (c0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?______________； ②|ax＋b|≥c?______________. (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 5．基本不等式 (1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么________，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理　如果a，b，c均为正数，那么________，当且仅当________时，等号成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均__________它们的几何平均，即________， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道ab?a－b0，ab?a－b0，因此要证明ab，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由ab0?1且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式________的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法 设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立． 1．不等式|2x－1|－|x－2|0的解集为_________