《2015步步高高中数学文科文档第九章9.6.docVIP

§9.6　双曲线 1.双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0： (1)当ac时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当ac时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a0，b0) －＝1 (a0，b0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (ca0，cb0) 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　×　) (2)方程－＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线. (　×　) (3)双曲线方程－＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. (　√　) (5)若双曲线－＝1(a0，b0)与－＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线). (　√　) 2.若双曲线－＝1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 (　　) A. B.5 C. D.2 答案　A 解析　焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2， ∴离心率e＝＝. 3.(2013·福建)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　双曲线的顶点(2,0)到渐近线y＝±x的距离d＝＝. 4.(2012·天津)已知双曲线C1：－＝1(a0，b0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________. 答案　1　2 解析　与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1. 由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5?λ＝，则a2＝1，b2＝4. 又a0，b0，故a＝1，b＝2. 5．若双曲线－＝1(a0，b0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线的离心率为________． 答案　 解析　双曲线－＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±x，设k＝，则k0，即直线y＝kx是双曲线－＝1(a0，b0)的一条渐近线，将直线化为一般式得kx－y＝0， 则有＝1， 化简即得4k2＝k2＋1?3k2＝1，由于k0，解得k＝， 即＝，设双曲线的焦距为2c(c0)，b＝t(t0)， 则a＝3t，∴c＝＝＝2t，故双曲线的离心率e＝＝＝. 题型一　双曲线的定义及标准方程 例1　(1)已知双曲线－＝1 (a0，b0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________. (2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________. 思维启迪　设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件) 答案　(1)－＝1　(2)－＝1 (3)x2－＝1(x≤－1) 解析　(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7. 又双曲线的离心率e＝＝，所以＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1. (2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)如图所示，设动圆M与圆C1及