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2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。定义：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。 对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作 。 2. 行列式的定义 个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式 划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。 5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。二.基本结论（1）（2）三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式） 例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵： 2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则： （2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式 4）转置：性质5）伴随矩阵性质： 二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n阶矩阵满足求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。例 求矩阵的秩第三章 向量第一节 向量组线性相关性一、基本内容1．向量及其运算（1）定义：（2）运算：2．线性表示、线性组合定义：3．向量间的关系的描述（线性相关、线性无关）定义：若存在一组不全为0的数 ，使得 则称向量组 线性相关，否则称为线性无关。2）结论（1） 线性相关（无关）（2）含有零向量的向量组一定线性相关（3）向量组的一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关 向量组本身线性无关，则其任何一个部分组线性无关（4）m个n维向量构成的向量组， 时向量组一定线性相关（5） 线性无关， 线性相关，则 可由 线性表示。二、基本题型与基本方法题型1：向量组线性表示的判定例题型2：向量组线性相关性的判定例 判定向量组 的线性相关性 。第二节 向量组的秩一、基本内容1．极大线性无关组与秩定义： 2．向量组之间关系的描述（向量组等价）二、基本题型与基本方法题型：求向量组的极大无关组与秩方法：定义法、初等变换法（以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作 初等行变换，化为阶梯形）例：设向量组 求（1）向量组的秩及一个极大无