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《2016考研数学考前必背:常考公式集锦概率与数理统计篇
2016考研数学考前必背:常考公式集锦(概率与数理统计篇)
离考试还有最后几天,跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了
1、条件概率
1)定义
设是两个随机事件,且,则称为在随机事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
2)性质
(1)当时,;
(2)当,,该公式也可以推广到多个事件积事件的情况.一般,设为个事件,,且,则有
.
2、随机事件的独立性
定义
(1)独立
设是两个事件,如果满足等式,则称事件相互独立,简称独立.
(2)两两独立
设是三个事件,如果满足等式,则称事件两两独立.
(3)相互独立
设是三个事件,如果满足等式,则称事件相互独立.
3、古典概型
如果试验的样本空间只有有限个样本点,并且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同,则称这样的试验为古典概型或等可能概型. 对于该试验的事件,则有
.
几何概型
如果试验的样本空间为几何空间中的一个有界区域(这个区域可以是一维、二维甚至是维的),且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同,则称这样的试验为几何概型. 对于该试验的事件,.
4、全概率公式
设为样本空间的一个完备事件组,则
贝叶斯公式
设为样本空间的一个完备事件组,则.
5、离散型随机变量的定义
如果某一随机变量所有可能的取值为有限个或可列无限个,我们就称该随机变量为离散型随机变量.
分布律
…… …… …… …… 其中随机变量所有可能的取值为,.
6、连续型变量及其概率密度
1)定义
如果对于随机变量的分布函数,存在非负函数,使对于任意实数有
,则称为连续型随机变量,其中函数称为的概率密度函数,简称概率密度.
2)概率密度的充要条件
(1);
(2).
7、常见的离散型随机变量
1)0-1分布
随机变量所有可能的取值只有或者,且取的概率为,取的概率为,则称该随机变量服从分布.
分布的分布律为:
分布是最简单的随机变量,后面很多离散型的随机变量都是以它为基础的.
2)二项分布
若随机变量的概率分布为,其中
,则称随机变量服从参数为的二项分布,并记.
3)几何分布
若随机变量的概率分布为,其中参数
,则称随机变量服从参数为的几何分布,并记.
4)泊松分布
若随机变量的概率分布为,其中参数,则称随机变量服从参数为的泊松分布,并记.
8、常见的连续型随机变量
1)均匀分布
若随机变量的概率密度为,则称服从区间内的均匀分布,并记为. 其分布函数:
2)指数分布
若随机变量的概率密度为其中参数,则称服从参数为的指数分布,并记.
注:(1),则分布函数.
(2),则
,说明指数分布具有“无记忆性”..
3)正态分布
若随机变量的密度函数为,其中参数
,则称服从正态分布,并记. 特别地,将称为标准正态分布,其概率密度和分布函数分别记作与.
注:(1),则. 该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要思路:标准化.
(2)正态分布具有对称性,也即其概率密度是关于直线对称的。特别地,标准正态分布的概率密度是偶函数;该性质也可以概括成等式:.
(3),则它的分布函数.
9、多维随机变量
1)维随机变量的定义
设随机试验的样本空间为,是定义在上的个随机变量,则由它们组成的向量值函数称为上的维随机变量.
2)二维随机变量的分布函数的定义
设是二维随机变量,对于任意实数,二元函数
,称为二维随机变量的分布函数,或称为随机变量和的联合分布函数.
3)二维随机变量的分布函数的性质
(1)分别关于和单调不减;
(2),且;
(3)分别关于和右连续;
(4)对任意的,有
.
10、二维离散型随机变量
1)定义
如果二维随机变量全部可能取到的不同的值是有限对或可列无限对,则称是离散型的随机变量.
2)联合分布律
设二维离散型随机变量所有可能取的值为,则称
为二维离散型随机变量的分布律,或随机变量和的联合分布律.
一般情况下,我们用如下的表格来表示二维随机变量的分布律:
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 注:二维离散型随机变量分布律有如下性质:.
11、二维连续型随机变量
1)定义
为二维随机变量的分布函数,如果存在非负的函数使对于任意有,则称是连续型的二维随机变量,函数称为二维随机变量的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度.
2)性质
(1).
(2).
(3)若在点连续,则.
(4)设是平面上的区域,点落在内的概率为
.
12、边缘分布律
对于二维离散型随机变量,得的分布律为
,同理得的分布律为.
称,为关于和关于的边缘分布律.
边缘分布函数
维随机变量作为一个整体,具有分布函数,而和都是随机变量,各自也有分布函数,将它们分别记为,依次称为二维
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