(高中个性化培训讲义曲线与方程.docVIP

第六讲 曲线与方程 教学目标：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系知识点1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．知识点2．求曲线方程的基本步骤 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 例已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状． [自主解答]　(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ， 整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． 即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． (2)当λ0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； 当－1λ0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； 当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； 当λ－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，若动点P满足·＝2，则动点P的轨迹方程为________． 解析：设P的坐标为(x，y)则＝(－2－x，－y，) ＝(3－x，－y)．由·＝2，得(－2－x)(3－x)＋y2＝2，即x2＋y2－x－8＝0. 答案：x2＋y2－x－8＝0 例2已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值． [自主解答]　(1)由题意得|PA|＝|PB|. 则|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝4|AF|＝2， 所以动点P的轨迹E是以A、F为焦点的椭圆． 设该椭圆的方程为＋＝1(ab0)， 则2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝3. 所以动点P的轨迹E的方程为＋＝1. (2)x2－2ax＋y2＋a2＝1即(x－a)2＋y2＝1， 则曲线Q是圆心为(a,0)，半径为1的圆． 而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－，0)，(，0)． 若曲线Q被轨迹E包围着，则－＋1≤a≤－1， 故a的最小值为－＋1. 2．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？ 解：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支． 又c＝7，a＝1，b2＝48，故点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)． 3．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，求圆心M的轨迹方程． 解：已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P点， 所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r. 又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC|＝8－r. 从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8. 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆， 并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7， 因此M点的轨迹方程为＋＝1. 例3(2012·辽宁高考)如图所示，椭圆C0：＋＝1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点．C1与C0相交于A，B，C，D四点． (1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； (2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中bt2a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等．证明：t＋t为定值． [自主解答]　(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A