《3.1三角形的学习内容汇总.docVIP

在ABC中,设AB=c,AC=b,CB=a,s=(a+b+c)/2 , r为内切圆半径, R为外接圆半径,“√”为根号.1.面积公式S=(1/2)a×ha S=(1/2)ab×sinC S=rs  S=abc/(4R)  S=2R2×sinAsinBsinC S=s(s-a)×tan(A/2) S=√[(s-a)(s-b)(s-c)s] (海伦公式) S=s2×tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2) S=(a2-b2)sinAsinB/[2sin(A-B)]2.中线.a边中线长Ma=(1/2)×√(2b2+2c2-a2) =(1/2)×√(b2+c2+2bc×cosA)3.高.a边高长ha=c×sinB=b×sinC ha=a×sinBsinC/sinA ha=√[b2-(a2+b2-c2)2/(2a)2 ]4.角平分线.a边角平分线长la=2bc×cos(A/2)/(b+c) la=√{bc[(b+c)2-a2]}/(b+c)5.内切圆,外接圆半径: r=S/s=4R×sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) r=s×tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2) R=a/(2sinA)=abc/(4s)=abc/[2r(a+b+c)]6.同角三角函数间的关系: sinα×cscα=1 cosα×secα=1 tanα×cotα=1 tanα=sinα/cosα,cotα=cosα/sinα (sinα)2+(cosα)2=1 1+(tanα)2=(secα)2 1+(cotα)2=(cscα)2 7.正弦定理：  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R8.余弦定理：  a2=b2+c2-2bc cosA  b2=a2+c2-2ac cosB  c2=a2+b2-2ab cosC9.倍角公式: sin(2α)=2sinαcosα cos(2α)=(cosα)2-1=1-2(sinα)2 tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)2] sin(3α)=3sinα-4(sinα)^3 cos(3α)=4(cosα)^3-3cosα 三角形分类(1)按角度分a.锐角三角形：三个角都小于90度。b.直角三角形（简称RT三角形）：有一个角是90度的三角形，夹90度的两边称为“直角边”，直角的对边称为“斜边”。(非直角三角形也称斜三角形，锐角三角形、钝角三角形都是斜三角形)c.钝角三角形：有一个角为钝角的三角形。(2)按边长分a.等腰三角形：两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形，即等边三角形，和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，两条相等的边称为“腰”，第三边叫做“底边”，腰对应的角（称为底角）也是相等的。b.非等腰三角形：三条边均不相等的三角形。c.等边三角形：三条边均相等的三角形。(3)特殊三角形退化三角形：面积为零的三角形。三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5.三角形共有五心：内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。重心：三条中线的交点。性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。垂心：三条高所在直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。三角形为什么具有稳定性任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接第三条边不可伸缩或弯折两端点距离固定这两