《3.2等差数列第二课时.docVIP

等差数列(第二课时) ? 【学习目标】 1．认识和理解等差数列的性质，掌握运用等差数列性质进行各种运算的技巧． 2．掌握如何处理等差数列的公共项问题． 3．会用等差数列的知识解决简单的实际应用问题． ? 【学习障碍】 1．如何通过等差数列的运算性质，深刻认识等差数列的规律和特点，进而灵活快捷地进行运算是学生普遍感到困难的地方． 2．公共项问题是数列的难点问题．由于解决该问题所涉及的知识学生相对薄弱，对能力的要求相对较高，学生往往不得要领或产生错误解法． ? 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 深入研究等差数列的性质，就能从不同角度分析有关等差数列的解题思路，“深入”才能“浅出”．下面是等差数列常用的性质：如果{an}是公差为d的等差数列，那么 (1)an＝am＋(n－m)d．(d＝)． (2)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；反之不一定成立．特别地，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap，即在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和． (3)公差为d的等差数列{an}，其子数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N*)也成等差数列，公差为md． (4)公差为d的等差数列{an}中，任意等间距的截取项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列，若每段含m项，每段间距(每段对应项的项数差)为k，则新公差为原公差的km倍．即新的等差数列公差为kmd． 当k＝m时，新数列为连续相同个数的项的和构成的等差数列，其公差为m2d． (5)数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列． 证明：(1)∵am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d． ∴an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d． (2)∵am＋an＝［a1＋(m－1)d］＋［a1＋(n－1)d］＝2a1＋(m＋n－2)d． 同理，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d．∴am＋an＝ap＋aq． 反之，am＋an＝ap＋aq(m＋n－2)d＝(p＋q－2)d． 在d≠0时，应该有m＋n＝p＋q； 在d＝0时，不一定有m＋n＝p＋q． (3)该条性质是第(4)条性质的特例． (4)设相邻两段间距为k，每段含m项，则相邻两段的对应项的差为kd，m个对应项的差的和为mkd． (5)(λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd． ∴{λan＋b}是公差为λd的等差数列． Ⅱ．知识拓宽 等差数列的计算问题是数学中最古老的问题之一，它的历史可以追溯到三四千年以前的古埃及．约在公元前1700年成书的莱因德(Rhind)《纸草算书》中已载录了两个等差数列问题．一个问题是，今有10袋麦子分给10个人，使每个人依次递减袋，那么第一个人分得多少？在《纸草算书》上不仅有正确的答案，而且还有一个非常巧妙的解法：假设最后1人分得1袋，则各人所得依次为1．其总和为，此问题中的总数10多．于是，为保证相邻两项的差仍为，只须所设数列的第一项减少÷10(＝)，这样求得第一个人分得1袋．类似这样按级递减分物的等差数列问题，在巴比伦晚期泥板中也有出现． 我国古代数学专著很早就涉及了等差数列问题．除了《周髀算经》中记载的等差数列在研究和制定节气方面的应用之外，约在公元前50年成书的《九章算术》中也有几个关于等差数列的问题．如均输章的第19题：今有竹九节，下三节容4升，上四节容3升，中间三节均容(容积自上而下的均匀增加)，问是多少．书中给出了准确的解答． 对等差数列问题的深入研究是从《张丘建算经》(约5世纪)开始的．在张丘建之后，天文学家把等差数列计算应用到了历法计算方面．唐代天文学家一行(683～727)在《大衍历》中计算行星在n天内运行的弧长Sn，应用的公式是Sn＝n(a1＋d)，其中a1是第一天行星运行的弧长，d是逐日多行的弧长．而在已知a1，d，Sn，求天数n时，一行的算法是n＝，这是关于n的二次方程n2＋的一个根． Ⅲ．障碍分析 1．怎样用等差数列的性质解答等差数列问题？ ［例1］已知具有20项的等差数列 (1)如果奇数项的和为100，偶数项的和为140，求公差d； (2)如果前3项的和是20，末3项的和是60，求它的公差d． 解：(1)由已知a1＋a3＋a5＋…＋a19＝100， ① 又a2＋a4＋a6＋…＋a20＝140 ② ②－①：(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a20－a19)＝10d＝40，∴d＝4． (2)a1＋a2＋a3＝20，a18＋a19＋a20＝60， ∴(a20－a3)＋(a19－a2)＋(a18－a1)＝40． 17d＋17d＋17d＝40，∴d＝． 点评：本题应用了上面的性质(1)． ［例2］在等