2013专转本高数空间向量复习资料.docVIP

第七章 矢量与空间解析几何 本章主要知识点 矢量运算 平面 直线方程 主要的几个立体图形及方法 一、矢量运算 着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。 1．矢量的内积 （1），其中为的夹角 （2）若， 且 （3） (为非零矢量) 例7.1．，求。 解：。 例7.2．如果，且，求。 解： 得： 得：。 2．矢量的叉积 如图所示，如果不平行于，则同时垂直与又垂直于，或者等价地，垂直于由确定的一平面。它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。 如果那么 ， 利用第一行代数余子式展开计算。 若非零， 例7.3．，求 解： 例7.4．如果，求 解：，解得：。 3．单位向量 为矢量的方向上的单位矢量。 4．矢量在上的投影 二、平面方程 1．平面方程的基本形式（点法式） 平面过点，法矢量为那么平面方程为 （1）点法式有两个基本要素：点和法向量。 （2）如果一平面方程写为，那么。 （3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量来决定。 （4）点到平面的距离 例7.5．已知平面过三点,求平面方程。 解： 平面方程为 例7.6．已知平面过点且平行与矢量，求平面方程。 解： 平面方程为。 例7.7．已知平面过点且与平面平行，求平面的方程 解：，平面方程为。 三、直线方程 直线过且方向矢量为，则直线方程（点斜式）的基本形式为： 直线点斜式两基本要素为及方向矢量。 另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。 例7.8．如果直线方程为，求直线的方向矢量的点斜式方程 解：令，得，所以 故，两平面的方向为，则 直线的点斜式为 例7.9．求直线在平面的投影直线的方程。 解：取 直线，交线构成平面，则， 的法线 故平面方程为， 即，。 故直线的方程为 。 例7.10．当为何值时，直线与直线平行？ 解：平面法矢量分别为： 直线方向矢， 直线方向矢 ， 由得： 则，，，得： ，，即， 所以，， 于是得到 或 。 例7.11．平面通过直线，且与平面：垂直，求平面的方程。 解：设平面方程为 即： ； 由于即 得：， 即平面的方程为 或 注：此题解法中应用了平面束的概念。 例7.12．平面通过点（1,-1,2）且直线落在其中，求平面方程。 解： 平面方程为：。 例7.13．求异面直线之间的距离。 解：， 以为法矢量分别作包含的两平行平面 ，即 ，即 两平面间的距离就是异面直线之间的距离。 。 四、常见曲面及方程 方　程 名　　称 母线平行轴，准线是面上曲线的柱面方程 平面上已知曲线：绕轴旋转的旋转面方程。 椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面 单叶双曲面 双叶双曲面 单元练习题7 给为两个非零矢量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于（　） A． B. C. D. 2. 设，用表示方向上单位向量，则向量在上的投影为（　） 　　 A． B. 　 　　　C. D. 3. 方程在空间直角坐标系下表示为： A．圆柱面　　　　 B. 点 C. 圆　　　　　 D. 旋转抛物面 4．在空间坐标系下，下列为平面方程的是： 　 A. B. C. D. 5．与平面垂直的直线方程为： A． B. C. 　 D. 6．直线与x轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是： A．（1,1）　　　 　 B．(-1,1) C．(0,-1) D．(0,1) 7．点到平面的距离 。 8．过原点且与直线：垂直的平面方程为 9．过点且平行向量的平面方程为 。 10．过点且平行于两个已知平面，　的直线方程为 。 11．曲线　绕轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 。 12．判断直线与平面的关系。 13．已知向量求与同向的单位向量。 14．求通过原点且垂直于直线：的平面方程。 15.把方程化为标准式（点斜式）与参数形式。 16．平面通过直线且与直线平行，求平面方程。 17．求过点且与直线和平行的 平面方程式。 18．确定与的平行或垂直关系。 19．确定与平面的平行或垂直关系。 历年真考题 1．（2001）方程在空间直角坐标系下表示（ ） A. 圆柱面 B. 点 C. 圆 D. 旋转