3-3期望值.doc.docVIP

§3?3 數學期望值(甲)數學期望值 (1)期望值的由來：期望值的概念，緣起於賭金的分配，流傳是這樣的：1654年法國有甲、乙兩位實力相當的棋王，各出賭金32法郎相約賭賽，規定先贏三局者為勝，勝者可獲得全部賭金(64法郎)，但每局必定要分出高下，不能成和局。結果第一局甲贏了。不料這時突然發生一件重大事故，迫令這樁賭賽中途停止，且以後也難有機會繼續比賽。於是公正人決定將賭金64平分還給甲、乙二位棋士，但二人為所分得的賭金之多寡爭執不下，一位喜歡數學的賭徒米爾，就拿這個問題向巴斯卡請教。這就是有名的「賭金分配問題」。巴斯卡的解法：?他認為二人所分賭金的多寡，應與他們獲勝機會的大小成比例， 這樣分配才算公平。?他算出甲獲勝的機率為，乙獲勝的機率為1? = 。所以他認為甲、乙二人獲勝的機率比為11：5。而不是之前的1：1。賭金也應該按11：5來分配。?因此甲應分賭金_____________。乙應分賭金___________。 甲、乙應分得的賭金，就是「期望值」。 (2)事件的期望值：在我們作決策的時候，不但要考慮獲勝的機率有多大，連帶著也要衡量獲勝後贏得的「好處」有多少？失敗後遭受的「損害」有多少？當我們賭賽(摸彩、競技、甚至與敵人決戰)之前，不能不預先估計我們能從這場賭賽中「可能」獲得的好處有多少？這種事前預期的好處，就叫做這事的期望值。顯然，期望值是由兩個因素決定的：第一，這件事發生的機率有多大？第二，若果真發生，會得到的報酬或遭受的損失是多少？這兩個考慮的過程形成了期望值的概念，於是定義為：(某事的期望值)=(某事發生的機率)?(此事發生後應得的金額)把「好處」用金額來表示是數量化的辦法。定義：設某件事發生的機率是p，若此事件發生即可得到m元，則mp元，就叫做此事件的數學期望值，簡稱為期望值。實例：任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現6點可得7元，求出現6點的期望值是多少？[解法]：期望值=7? = 。 (3)隨機試驗的期望值(a)定義：如果一個隨機實驗有k種可能結果，各種結果的報酬分別為m1,m2,..,mk,而得到這些報酬的機率分別為p1,p2,p3,…..pk，(其中p1+p2+…..+pk=1，此式可用來簡單判斷機率是否算錯)，則m1?p1+m2?p2+…+mk?pk稱為此隨機試驗的期望值，記為E，(Expectation的字母)，即E=m1?p1+m2?p2+…+mk?pk。實例：任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現a點可得a元，求期望值是多少？[解法]：E=1?+2?+3?+4?+5?+6?= 。實例：設袋中有10元，5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，求期望值為多少？[解法]：此試驗可能發生的結果為10元、10元與10元、5元與5元、5元發生的機率為、、所以期望值=20?+15?+10?=15(元)(b)期望值與平均值：實例：設袋中有10元，5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，求期望值為多少？[解法]：我們將袋中的硬幣想成有6枚總和45元的硬幣，平均一枚硬幣的價值=元，因此二枚硬幣平均價值=元?2=15元，與前面期望值的結果一致。有時候計算期望值時，也可以考慮用平均價值的慨念來處理。 某人擲一枚均勻硬幣2次，若出現2個正面，即可得400元；若出現1個正面1個反面，即可得100元；若出現2個反面，則輸500元，試求其期望值為多少？Ans：25元 數人賭博，其中1人做莊，不做莊的先交給莊家3元，得到擲1個公正銅板1次的權利，規定：擲得正面時，莊家賠5元；擲得反面時，莊家不賠。(1)不做莊的人的期望值是_________，故此種玩法_________(填公平、不公平)(2)若要玩法公平，當得反面時，莊家應賠__________元。Ans：(1)2.5元，不公平(2)賠1元 袋中有10元、5元硬幣各4枚，自袋中任取3枚，求期望值。Ans：22.5元 根據統計資料得知，一個50歲的人，在一年內存活的機率為98.5％，今有一個50歲的人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險，須繳保費一萬元，則保險公司獲利的期望值為　　　　　。Ans：2350元 假設每次付款150元參加抽獎，獎金有300元,200元,100元三種，機率分為,,，求每次得獎金的期望值？Ans：100元 某人擲一枚均勻硬幣2次，若出現2個正面，即可得400元；若出現1個正面1個反面，即可得100元；若出現2個反面，則輸500元，試求其期望值為多少？Ans：25元] 擲一公正骰子，若出現點數為偶數，則可得3倍點數的錢，若出現點數為奇數，則輸掉點數2倍的錢，請求出這個試驗的期望值。Ans：3元 擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得5