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§5.二次型及其标准型
§5. 二次型及其标准型 在解析几何中,为了便于研究二次曲线 的几何性质,我们可以选择适当的坐标变换: 把方程化为标准形 一、二次型概念 二次型的矩阵形式 其中 例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式; 二、二次型的标准形 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看,化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只有平方项。这样的问题,在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义1:含有n个变量x1 , x2 ,…xn的二次齐次函数 其中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1)称A为二次型 f 的矩阵,显然 A=AT; 2)A=(aij), 若 aij 为复数,称 f 为复二次型; 3) A=(aij), 若 aij 为实数,称 f 为实二次型; 4)称为R(A)为二次型 f 的秩。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义9. 称只含有平方项的二次型 为二次型的标准型(或法式)。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 所谓一般二次型的化简问题,就是寻找一个可逆的线性变换: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理9 任给可逆矩阵 C ,令 B=C TAC,若 A 为对称矩阵,则 B 亦为对称矩阵,且 R(B)=R(A)。 证: A为对称矩阵,即有 A T=A,于是, B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B . 故 B 为对称矩阵. 再证 R(B)=R(A). 因 B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A). 又因 A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B) 于是 R(B)=R(A). Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这定理说明:经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC
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